入試数学コンテスト第5回第3問解答解説

$$\begin{aligned} & (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2\\ &= \cos^2 \alpha -2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta\\ &= 2 - 2 (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)\\ &= 2-2\cos (\alpha - \beta) \end{aligned}$$ である。$0 \leqq \alpha , \beta \leqq \pi$ であることから $-\pi \leqq \alpha - \beta \leqq \pi$ である。よって $-1 \leqq \cos (\alpha - \beta) \leqq 1$ が従う。

こうして $2 - 2 \cos (\alpha - \beta) \geqq 2 - 2 = 0$ である。したがって $f(0,0) = 0$ である。

$f(0,0)$ は $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2$ の最小値である。まず $(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 \geqq 0$ である。

今，$\alpha = 0, \beta = 0$ とすると，$\cos \alpha - \cos \beta = 1-1 =0$，$\sin \alpha + \sin \beta = 0+0 =0$ であるため，$(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2$ は $0$ を取る。

こうして $f(0,0) = 0$ となる。

$(a + \cos \alpha - \cos \beta)^2 + (b - \sin \alpha - \sin \beta)^2$ は $xy$ 平面上で2点 $(a,b)$ と $(- \cos \alpha + \cos \beta , \sin \alpha + \sin \beta)$ の距離の2乗である。

よって $f(a,b) = 0$ となる $(a,b)$ 領域は，$\alpha , \beta$ を任意に動かしたとき，$(- \cos \alpha + \cos \beta , \sin \alpha + \sin \beta)$ の動く領域である。

$- \pi \leqq \alpha \leqq \pi , -\pi \leqq \beta \leqq \pi$ より $(-\cos \alpha , \sin \alpha) , (\cos \beta , \sin \beta)$ はそれぞれ半径 $1$ の円の上半分を動く。

中心が，原点を中心をする半径 $1$ の円の上半分となる半径 $1$ の円の上半分を動かして得られる軌跡，すなわち，$(x - \cos \beta)^2 + (y - \sin \beta)^2 = 1$ の上半分について $\beta$ を動かして得られる軌跡として次の図を得る。

こうして求める面積は $4\pi \cdot \dfrac{1}{2} - \pi \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \pi$

$(- \cos \alpha + \cos \beta , \sin \alpha + \sin \beta)$ との距離が2以下になる $(a,b)$ を考えればよいため，(2) で求めた図形を中心をする半径2の円の動く領域がを求めればよい。

$b \geqq 0$ のとき

$a^2 + b^2 = 4$ の円周上を中心とすることで，原点を中心とする半径 4 の円盤の上半分が求める領域だとわかる。

$b \leqq 0$ のとき

(2) で求めた領域のうち $b = 0$ 上にある部分は $(-2,0),(0,0),(2,0)$ の3点である。この3点を中心とする半径2の円を考えればよく，求める領域は $b \leqq 0$ かつ以下 $$(a-2)^2 + b^2 \leqq 4\\ a^2 + b^2 \leqq 4\\ (a+2)^2 + b^2 \leqq 4$$ のいずれかを満たす部分である。

3つの円の交点を求める。$(a-2)^2 + b^2 = 4$ と $a^2 + b^2 = 4$ の交点は $(1 , \pm \sqrt{3})$，$(a+2)^2 + b^2 = 4$ と $a^2 + b^2 = 4$ の交点は $(-1 , \pm \sqrt{3})$，$(a-2)^2 + b^2 = 4$ と $(a+2)^2 + b^2 = 4$ の交点は $(0,0)$ となる。こうして求める領域は $b \leqq 0$ かつ $$\begin{cases} (a+2)^2 + b^2 \leqq 4 &(-2 \leqq a \leqq -1)\\ a^2+b^2 \leqq 4 &(-1 \leqq a \leqq 1)\\ (a-2)^2 + b^2 \leqq 4 &(1 \leqq a \leqq 2) \end{cases}$$ である。

図示すると以下のようになる。

こうして外周は $$4 \cdot \pi + 2 \cdot \left(\dfrac{2}{3} \pi + \dfrac{1}{3} \pi + \dfrac{2}{3} \pi\right) = \dfrac{22}{3} \pi$$ となる。