確率・場合の数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

更新日時 2021/11/01

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,確率・場合の数分野のものをまとめています。

易しめの問題から超難問まで,幅広い難易度の問題が揃っています。全ての問題に解答解説がついているので,日々の学習・演習に役立ててください。

目次
  • 確率・場合の数分野の問題を解くコツ

  • 第1回第2問[場合の数]

  • 第2回第1問 [確率]

  • 第2回第6問 [確率]

  • 第3回第2問 [確率]

確率・場合の数分野の問題を解くコツ

確率や場合の数の問題に対して,公式が少なく,その場で考えなくてはならないので好きになれない,と感じる生徒は多いようです。確かに他の分野に比べると典型的な問題が入試問題として出題されることは少なく,自分の力で考察することが要求されることが多い印象を受けます。

入試問題としての確率や場合の数の問題が解けるようになるための一番のポイントは,効率よく数え上げる術を身につけることでしょう。入試は時間との戦いもありますから,いかに効率よく,またミスなく数え上げることが重要になってきます。

また,確率漸化式の問題が好んで出題されます。確率の問題が苦手だと思われる方は,漸化式についての知識も確認しておくことをお勧めします。

いずれにせよ,骨のある問題に多く触れ,1つの問題に対して多くの見方ができるようになることが重要です。以下の当コンテストオリジナル問題とじっくり向き合い,思考力を養っていただければと思います。

第1回第2問[場合の数]

第2問

動点Pは最初,三次元座標空間上の (0,0,0)(0,0,0) にあるとする。以下の操作A,B,Cを何度か行って移動することを考える。

(1)

操作A:xx座標を +1+1 する。ただし,xx+1+1 したことによって xx22 を超えてしまった場合,xx22 に戻す。

操作B:yy 座標を +1+1 する。ただし,yy+1+1 したことによって yy22 を超えてしまった場合,yy22 に戻す。

操作C:zz 座標を +1+1 する。ただし,zz+1+1 したことによって zz22 を超えてしまった場合,zz22 に戻す。

8回目の操作で,点Pがはじめて (2,2,2)(2,2,2) に辿り着くような操作の並べ方は何通りあるか求めよ。

(2) 操作A:xx 座標を +1+1 する。ただし,xx+1+1 したことによって xx33 を超えてしまった場合,xx33 に戻す。

操作B:yy 座標を +1+1 する。ただし,yy+1+1 したことによって yy33 を超えてしまった場合,yy33 に戻す。

操作C:zz 座標を +1+1 する。ただし,zz+1+1 したことによって zz33 を超えてしまった場合,zz33 に戻す。

15回目の操作で,点Pがはじめて (3,3,3)(3,3,3) に辿り着くような操作の並べ方は何通りあるか求めよ。

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第2回第1問 [確率]

第1問

n (n2)n \ (n \geq 2) 個のサイコロを同時に 11 回投げる。

出たすべての目の積を PP, 出たすべての目の最大公約数を GGとするとき, 以下の問いに答えよ。

(1) PP が偶数になる確率を求めよ。

(2) PP88 の倍数になる確率を求めよ。

(3) G=5G = 5 である確率を求めよ。

(4) G=3G = 3 である確率を求めよ。

(5) G=1G = 1 である確率を求めよ。

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第2回第6問 [確率]

第6問

nn22 以上の整数とする。

座席が nn 個ある飛行機に, nn 人の乗客が一列に並んで順番に乗ろうとしている。各乗客の座る席は決まっているが, 列の最初に並んでいた人が自分の席番号を忘れてしまった。そこで乗客たちは次の手順で座席に座ることにした。

  • 列の最初の人は, nn 個の席のうちひとつをランダムに選んで座る。
  • それ以外の乗客は, 自分の番が来たときに自分の席が空いていればそこに座り, そうでないときは空いている席のうちひとつをランダムに選んで座る。

ただし, 席をランダムに選ぶときは空いている席を等確率で選ぶとする。

(1) n=100n = 100 のとき, 列の最後に並んでいた人が自分の席に座る確率を求めよ。

(2) n=200n = 200 のとき, 列の 44 番目に並んでいた人が自分の席に座る確率を求めよ。

(3) kk2kn2 \leq k \leq n を満たす整数とするとき, 列の kk 番目に並んでいた人が自分の座席に座る確率を nnkk で表せ。

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第3回第2問 [確率]

第2問

「が」「く」「す」と書かれたカードが1枚ずつ、「こ」と書かれたカードが2枚、「う」と書かれたカードが3枚ある。これら8枚のカードを無作為に並べ、文字列を作ることを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 文字列が「こうこうすうがく」となる確率を求めよ。

(2) 文字列に「がく」が含まれる確率を求めよ。

(3) 文字列に「すうがく」が含まれる確率を求めよ。

(4) 文字列に「すうがく」が含まれるとき、文字列が「こうこうすうがく」である確率を求めよ。

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