確率・場合の数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

動点Pは最初，三次元座標空間上の $(0,0,0)$ にあるとする。以下の操作A,B,Cを何度か行って移動することを考える。

(1)

操作A：$x$座標を $+1$ する。ただし，$x$ を $+1$ したことによって $x$ が $2$ を超えてしまった場合，$x$ を $2$ に戻す。

操作B：$y$ 座標を $+1$ する。ただし，$y$ を $+1$ したことによって $y$ が $2$ を超えてしまった場合，$y$ を $2$ に戻す。

操作C：$z$ 座標を $+1$ する。ただし，$z$を $+1$ したことによって $z$ が $2$ を超えてしまった場合，$z$ を $2$ に戻す。

8回目の操作で，点Pがはじめて $(2,2,2)$ に辿り着くような操作の並べ方は何通りあるか求めよ。

(2) 操作A：$x$ 座標を $+1$ する。ただし，$x$ を $+1$ したことによって $x$ が $3$ を超えてしまった場合，$x$ を $3$ に戻す。

操作B：$y$ 座標を $+1$ する。ただし，$y$ を $+1$ したことによって $y$ が $3$ を超えてしまった場合，$y$ を $3$ に戻す。

操作C：$z$ 座標を $+1$ する。ただし，$z$ を $+1$ したことによって $z$ が $3$ を超えてしまった場合，$z$ を $3$ に戻す。

15回目の操作で，点Pがはじめて $(3,3,3)$ に辿り着くような操作の並べ方は何通りあるか求めよ。

$n \ (n \geq 2)$ 個のサイコロを同時に $1$ 回投げる。

出たすべての目の積を $P$, 出たすべての目の最大公約数を $G$とするとき, 以下の問いに答えよ。

(1) $P$ が偶数になる確率を求めよ。

(2) $P$ が $8$ の倍数になる確率を求めよ。

(3) $G = 5$ である確率を求めよ。

(4) $G = 3$ である確率を求めよ。

(5) $G = 1$ である確率を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。

座席が $n$ 個ある飛行機に, $n$ 人の乗客が一列に並んで順番に乗ろうとしている。各乗客の座る席は決まっているが, 列の最初に並んでいた人が自分の席番号を忘れてしまった。そこで乗客たちは次の手順で座席に座ることにした。

• 列の最初の人は, $n$ 個の席のうちひとつをランダムに選んで座る。
• それ以外の乗客は, 自分の番が来たときに自分の席が空いていればそこに座り, そうでないときは空いている席のうちひとつをランダムに選んで座る。

ただし, 席をランダムに選ぶときは空いている席を等確率で選ぶとする。

(1) $n = 100$ のとき, 列の最後に並んでいた人が自分の席に座る確率を求めよ。

(2) $n = 200$ のとき, 列の $4$ 番目に並んでいた人が自分の席に座る確率を求めよ。

(3) $k$ を $2 \leq k \leq n$ を満たす整数とするとき, 列の $k$ 番目に並んでいた人が自分の座席に座る確率を $n$ と $k$ で表せ。

「が」「く」「す」と書かれたカードが1枚ずつ、「こ」と書かれたカードが2枚、「う」と書かれたカードが3枚ある。これら8枚のカードを無作為に並べ、文字列を作ることを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 文字列が「こうこうすうがく」となる確率を求めよ。

(2) 文字列に「がく」が含まれる確率を求めよ。

(3) 文字列に「すうがく」が含まれる確率を求めよ。

(4) 文字列に「すうがく」が含まれるとき、文字列が「こうこうすうがく」である確率を求めよ。

1と2を合わせて $n$ 個並べて，10進数で $n$ 桁の整数を作ることを考える。

例えば $n=3$ のときは，111・112・121・122・211・212・221・222の8通りが考えられる。

(1) $n=4$ のとき，何通りの整数がありうるか求めよ。

(2) 偶数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(3) 3の倍数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(4) $n \geqq 2$ のとき，最小の素因数が7以上である整数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

ただし整数 $N$ の素因数とは，$N$ を割り切る素数のことを意味する。

なお，解答欄 く と す には $n-1$ か $n$ が入る。このどちらかを回答すること。

サイコロを3回振り，出た目を順に $a,b,c$ とする。$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cos \dfrac{\pi}{c}$ とおく。

(1) $2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ を用いることで $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を求めよ。

(2) $S=0$ となる確率を求めよ。

(3) $S$ が整数となる確率を求めよ。

(4) $S$ が有理数となる確率を求めよ。

非負整数 $n$ について，3種類の文字 $,\{\}$ から成る文字列 $w_n$ を以下のように定める。

・ $w_0=\{ \}$

・ $w_n = \{ w_0, \dots , w_{n-1} \}$

例えば $$\begin{aligned} w_1 &= \{w_0\} = \{ \{\} \}\\ w_2 &= \{w_0,w_1\}\\ &= \{\{\} , \{ \{\} \} \}\\ w_3 &= \{ w_0,w_1,w_2 \}\\ &= \{ \{\} , \{ \{\} \} , \{\{\} , \{ \{\} \} \} \} \end{aligned}$$ となる。

(1) $w_n$ の文字数を $l_n$ で表す。$l_n$ を求めよ。

(2) $w_n$ に含まれる $,\{\}$ の数をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。$a_n,b_n,c_n$ を求めよ。

(3) $w_n$ にあらわれる文字を左から $v_n (1) , v_n (2) , \cdots , v_n (l_n)$ とおく。$1 \leqq i < j \leqq l_n$ であり，$v_n (i) v_n (j)$ が $\{\}$ となる2整数 $(i,j)$ の選び方の総数を $x_n$ とする。

例えば $w_0 = \{\}$ より $v_0 (1) = \{$，$v_0 (2) = \}$ であり，$x_0 = 1$ である。

$w_1 = \{\{\}\}$ より $v_1 (1) = \{$，$v_1 (2) =\{$，$v_1 (3) =\}$，$v_1 (4) = \}$ である。このとき $v_1 (1) v_1 (3)$，$v_1 (1) v_1 (4)$，$v_1 (2) v_1 (3)$，$v_1 (2) v_1 (4)$ が $\{\}$ となるため，$x_1 = 4$ である。

$x_n$ を求めよ。