入試数学コンテスト第3回第2問解答解説

更新 2021/10/30

第2問 [確率]

第2問

「が」「く」「す」と書かれたカードが1枚ずつ、「こ」と書かれたカードが2枚、「う」と書かれたカードが3枚ある。これら8枚のカードを無作為に並べ、文字列を作ることを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 文字列が「こうこうすうがく」となる確率を求めよ。

(2) 文字列に「がく」が含まれる確率を求めよ。

(3) 文字列に「すうがく」が含まれる確率を求めよ。

(4) 文字列に「すうがく」が含まれるとき、文字列が「こうこうすうがく」である確率を求めよ。

第2問は確率の問題です。基本問題なのできちんと得点したいです。

第2問(1)

「こ」が2枚，「う」が3枚重複していることに注意すると求める確率は $\dfrac{2! 3!}{8!} = \dfrac{2}{4\cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}=\dfrac{1}{3360}$ である。

解

$\dfrac{1}{3360}$

複数枚あるカードに注意して計算をしましょう。

第2問(2)

「が」「く」をひとまとめにして7枚のカードを任意に並べることを考えると，求める確率は $\dfrac{7!}{8!} = \dfrac{1}{8}$ である。

解

$\dfrac{1}{8}$

複数のカードを1つにまとめるという典型的な手法を使いました。「が」も「く」も1枚だけしかないカードでした。次の問題も複数のカードを1つにまとめて考えることになりますが，少々勝手が違います。しかし，やること自体は(1)と(2)を組み合わせたものです。

第2問(3)

「すうがく」という4枚のカードを1つにまとめて5枚のカードを並び替えることを考えると， $5!$ 通りの並べ方がある。そのうち「う」が3枚あることに注意すると，確率は $\dfrac{5! \cdot 3}{8!} = \dfrac{1}{112}$ である。

解

$\dfrac{1}{112}$

(4)は条件付き確率の問題です。セオリー通り計算をします。

証明

「すうがく」という文字列が含まれる事象を $A$ ，と「こうこうすうがく」という文字列になる事象を $B$ で表すことにする。

$A \cap B$ すなわち，「すうがく」という文字列が含まれかつ「こうこうすうがく」という文字列が含まれる事象は，「こうこうすうがく」という文字列が含まれる事象である。ゆえに $\begin{aligned} P_A (B) &= P (A \cap B) \div P(A)\\ &= P(B) \div P(A)\\ &=\dfrac{1}{3360} \div \dfrac{1}{112}\\ &= \dfrac{1}{30} \end{aligned}$ となる。

解

$\dfrac{1}{30}$

今回の場合は $A$ が $B$ を含んでいました。そのため $P(A \cap B)$ の計算が不要になります。

条件付き確率のイメージがいまいちわからない人は条件付き確率の意味といろいろな例題をチェックしてみてください。