入試数学コンテスト第3回第2問解答解説

更新日時 2021/10/30
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  • 第2問 [確率]

第2問 [確率]

第2問

「が」「く」「す」と書かれたカードが1枚ずつ、「こ」と書かれたカードが2枚、「う」と書かれたカードが3枚ある。これら8枚のカードを無作為に並べ、文字列を作ることを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 文字列が「こうこうすうがく」となる確率を求めよ。

(2) 文字列に「がく」が含まれる確率を求めよ。

(3) 文字列に「すうがく」が含まれる確率を求めよ。

(4) 文字列に「すうがく」が含まれるとき、文字列が「こうこうすうがく」である確率を求めよ。

第2問は確率の問題です。基本問題なのできちんと得点したいです。

第2問(1)

「こ」が2枚,「う」が3枚重複していることに注意すると求める確率は 2!3!8!=245678=13360 \dfrac{2! 3!}{8!} = \dfrac{2}{4\cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}=\dfrac{1}{3360} である。

13360\dfrac{1}{3360}

複数枚あるカードに注意して計算をしましょう。

第2問(2)

「が」「く」をひとまとめにして7枚のカードを任意に並べることを考えると,求める確率は 7!8!=18 \dfrac{7!}{8!} = \dfrac{1}{8} である。

18\dfrac{1}{8}

複数のカードを1つにまとめるという典型的な手法を使いました。「が」も「く」も1枚だけしかないカードでした。次の問題も複数のカードを1つにまとめて考えることになりますが,少々勝手が違います。しかし,やること自体は(1)と(2)を組み合わせたものです。

第2問(3)

「すうがく」という4枚のカードを1つにまとめて5枚のカードを並び替えることを考えると,5!5! 通りの並べ方がある。そのうち「う」が3枚あることに注意すると,確率は 5!38!=1112 \dfrac{5! \cdot 3}{8!} = \dfrac{1}{112} である。

1112\dfrac{1}{112}

(4)は条件付き確率の問題です。セオリー通り計算をします。

証明

「すうがく」という文字列が含まれる事象を AA,と「こうこうすうがく」という文字列になる事象を BB で表すことにする。

ABA \cap B すなわち,「すうがく」という文字列が含まれかつ「こうこうすうがく」という文字列が含まれる事象は,「こうこうすうがく」という文字列が含まれる事象である。ゆえに PA(B)=P(AB)÷P(A)=P(B)÷P(A)=13360÷1112=130\begin{aligned} P_A (B) &= P (A \cap B) \div P(A)\\ &= P(B) \div P(A)\\ &=\dfrac{1}{3360} \div \dfrac{1}{112}\\ &= \dfrac{1}{30} \end{aligned} となる。

130\dfrac{1}{30}

今回の場合は AABB を含んでいました。そのため P(AB)P(A \cap B) の計算が不要になります。

条件付き確率のイメージがいまいちわからない人は 条件付き確率の意味といろいろな例題 をチェックしてみてください。