入試数学コンテスト第2回第1問解答解説

$P$ が偶数になるという事象の余事象は「出たすべての目が奇数である」という事象である。

したがって求める確率は

$$1 - \left(\dfrac{3}{6}\right)^n = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$

$P$ が $8$ の倍数になるという事象の余事象は以下のいずれかの場合が満たされる場合である。

• 出たすべての目が奇数である。
• 出たすべての目のうち, 偶数が1つだけ含まれ, 残りはすべて奇数である。
• 出たすべての目のうち, $2$ または $6$ が 2つだけ含まれ, 残りはすべて奇数である。

これらの場合はすべて互いに排反である。

したがって, 余事象の確率は

$$\begin{aligned} & \left(\dfrac{3}{6}\right)^n　+ {}_n\mathrm{C}_1 \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \left(\dfrac{3}{6}\right)^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_2 \left(\dfrac{2}{6}\right)^2 \left(\dfrac{3}{6}\right)^{n-2} \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left\{ 1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \right\} \\ &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left( \dfrac{2 n^2 + 7n + 9}{9}\right) \end{aligned}$$

である。求める確率は $$1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left( \dfrac{2 n^2 + 7n + 9}{9}\right)$$

すべての目の最大公約数が $G = k$ になる確率を $p_k$ とする。

$G = 5$ になるのは, すべての目が $5$ であるときなので

$$p_5 = \left(\dfrac{1}{6}\right)^n$$

$G = 3$ になるのは「すべての目が $3$ または $6$ である」という事象から「すべての目が $6$ である」という事象を除いたときなので

$$p_3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n - \left(\dfrac{1}{6}\right)^n$$

$G$ は1以上6以下の整数なので,

$$p_1 = 1 - (p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6)$$

を満たす。

ここで $p_2 + p_4 + p_6$ は「$G$ が偶数である」という事象の確率であり, これは「出たすべての目が偶数である」ということであるから

$$p_2 + p_4 + p_6 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$

(3)(4)の結果と合わせて, $$\begin{aligned} p_1 &= 1 - (p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6) \\ &= 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{aligned}$$