じゃんけんであいこになる確率の求め方と値

あいこになる確率よりもあいこにならない確率の方が計算しやすいので余事象を使います。

注：例えば「全員がグーまたはチョキ」という場合の数は $2^n$ 通りですが「全員がグー」または「全員がチョキ」という2通りを除外する必要があります。

ややマニアックですが，全射の個数の公式（→全射の個数の証明とベル数）を知っていれば一発です。

実際にあいこになる確率がどれくらいになるのか計算してみました。

2人：33.3％

3人：33.3％

4人：48.1％

5人：63.0％

6人：74.5％

7人：82.7％

8人：88.4％

9人：92.2％

10人：94.8％

このように，人数が増えるとあいこの確率は急激に上昇します。人数が多いときはじゃんけんよりも「グッパで分かれましょー」などをやった方がよいというわけです。

当然ですが，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\lim_{n\to\infty}(1-\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}})=1$ が成立します。大人数でじゃんけんするとずっと終わらない，という感覚に合っています。

このように，変数を含む確率の問題では極限を考えることでも検算ができます。この方法で（例えば余事象をとり忘れるなどの）ひどい計算ミスは防ぐことができます。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT18も参照してください。