定積分で表された関数の微分の公式

$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とおく。つまり $F'(x)=f(x)$ である。

このとき，定積分の定義（→注意）より，

$\displaystyle\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)$

なので，これを $x$ で微分すると $F'(x)-0=f(x)$

となる。

両辺を $x$ で微分すると（左辺に冒頭の公式を使う），

$f(x)=2x$

が分かる。

さらに，もとの式に $x=a$ を代入すると，

$a^2-2016=0$ となる。

よって，$a=\pm\sqrt{2016}=\pm 12\sqrt{14}$

$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とおくと，公式の左辺は

$F(q(x))-F(p(x))$ となる。

これを $x$ で微分すると（合成関数の微分公式より），

$f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)$ となる。

公式の左辺を変形していくと，

$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^{q(x)}f(t)dt-\int_0^{p(x)}f(t)dt\right)\\ =\dfrac{dq(x)}{dx}\dfrac{d}{dq(x)}\displaystyle\int_0^{q(x)}f(t)dt-\dfrac{dp(x)}{dx}\dfrac{d}{dp(x)}\int_0^{p(x)}f(t)dt$

ここで冒頭の公式を使うと，上式は

$\dfrac{dq}{dx}f(q(x))-\dfrac{dp}{dx}f(p(x))\\ =f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)$

となる。