入試数学コンテスト第7回第2問解答解説

不定方程式 $2m-3n=7$ の非負整数解として $2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 7$ を取ることができる。与式と辺々引き算をすることで $$2 (m-5) - 3 (n-1) = 0$$ が得られる。移項することで $$2(m-5) = 3(n-1)$$ である。$2$ と $3$ は互いに素であるため，非負整数 $k$ により $m-5 = 3k , n-1 = 2k$ と表される。よって $$(m,n)=(3k+5, 2k+1)$$ が求める解となる。

条件の不等式をそれぞれ解く。

1つめは， $$3k+5 < \left( \dfrac{2k+2}{5} \right)^2\\ 75k + 125 < 4k^2 + 8k + 4\\ 4k^2 - 67k - 119 >0\\ k<\dfrac{67-5\sqrt{257}}{8}, \dfrac{67+5\sqrt{257}}{8}<k$$ となり，2つめは $$\left( \dfrac{2k+1}{5} \right)^2 < 3k+6\\ 4k^2+4k+1 < 75k + 150\\ 4k^2 - 71k - 149 <0\\ \dfrac{71-15\sqrt{33}}{8}<k<\dfrac{71+15\sqrt{33}}{8}$$ である。

$$\begin{aligned} 71 - 15 \sqrt{33} &< 71 - 15 \cdot 5\\ &= -4 <0\\ 67 - 5 \sqrt{257} &< 67 - 5 \cdot 16\\ &= -13 < 0 \end{aligned}$$ となる。$k$ が非負整数のときを考えるため，考えるべき不等式は $$\begin{cases} k > \dfrac{67+5\sqrt{257}}{8}\\ 0 < k < \dfrac{71+15\sqrt{33}}{8} \end{cases}$$ となる。

$$18 < \dfrac{67+5\sqrt{257}}{8} < 19 < \dfrac{71+15\sqrt{33}}{8} < 20$$ と計算されるため，不等式を満たす整数は $k = 19$ のみである。こうして求めるべきものは $19$ である。

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なお，次のように実数を評価できる。

$256 < 257 < 289$ より $16 < \sqrt{257} < 17$ であるため， $$67 + 5 \cdot 16 < 67 + 5 \sqrt{257} < 67 + 5 \cdot 17\\ \dfrac{147}{8} < \dfrac{67 + 5 \sqrt{257}}{8} < \dfrac{152}{8}\\$$ となる。$\dfrac{147}{8} > 18 , \dfrac{152}{8} = 19$ である。

$5.6^2 = 31.36 , 5.8^2 = 33.64$ から $$71 + 15 \cdot 5.6 < 71 + 15 \sqrt{33} < 71 + 15 \cdot 5.8\\ \dfrac{155}{8} < \dfrac{71 + 15 \sqrt{33}}{8} < \dfrac{158}{8}$$ となる。$\dfrac{158}{8}$ である。こうして $$18 < \dfrac{67+5\sqrt{257}}{8} < 19 < \dfrac{71+15\sqrt{33}}{8} < 20$$ となる。

$m=[ x^2 ] ,n=[ 5x ]$ とおくと，(1) より $(m,n)=(3k+5, 2k+1)$ である。

$m,n$ はそれぞれ $x^2 , 5x$ の整数部分であるため， $$3k+5\leq x^2< 3k+6\\ \dfrac{2k+1}{5}\leq x <\dfrac{2k+2}{5}$$ を満たす。

これを同時にみたす正の実数 $x$ が存在するためには，これらに共通部分が存在すればよい。すなわち， $$\begin{cases} 3k+5<\left(\dfrac{2k+2}{5}\right)^2\\ \left(\dfrac{2k+1}{5}\right)^2<3k+6 \end{cases}$$ を満たす非負整数 $k$ を求めればよい。

(2) より $k=19$ である。これを代入することにより，$x$ の範囲は $$\sqrt{62} \leqq x < 3\sqrt{7}$$ である。