入試数学コンテスト第5回第5問解答解説

$608.36142<\log_{10}2^{2021}<608.38163$ より $2^{2021}$ は $609$ 桁である。

また $$0.30103<0.36142<0.38163<0.47712$$ より $2^{2021}$ の最高位の数字は $2$ である。

$2^{k-1}$ と $2^{k}$ の桁数が異なるとき，またこのときに限って $a_n=1$ である。

$2^{2021}$ の桁数が $609$ 桁であることから，$2^{k-1}$ と $2^{k}$ の桁数が異なることは $608$ 回ある。こうして求めるものは $608$ だとわかる。

$a_i=1$ となるある $i$ について，$a_j=1$ となる $i$ より大きい $j$ のうち最小のものを $i'$ とする。

$a_k = 1$ のとき，$a_{k+1}$ は $2$ か $3$ のいずれかである。

$a_k = 2$ のとき，$a_{k+1}$ は $4$ か $5$ のいずれかである。

$a_k = 3$ のとき，$a_{k+1}$ は $6$ か $7$ のいずれかである。

$a_k = 4$ のとき，$a_{k+1}$ は $8$ か $9$ のいずれかである。

$a_k = 5,6,7,8,9$ のとき，$a_{k+1}$ は $1$ である。

こうして $a_i = 1$ とするとき，部分列 $\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{i'-1}\}$ は次の $5$ パターンである。

$$\{1,2,4,8\},\{1,2,4,9\},\{1,2,5\},\{1,3,6\},\{1,3,7\}$$

(1) より $a_{2021} = 2$ であるため，$a_{2020} = 1$ である。したがって $a_1$ から $a_{2019}$ に $1$ は $607$ 個現れる。

今，$a_0=1$ とすれば，$a_0,a_1,\ldots,a_{2019}$ の中に $a_i=1$ として $\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{i'-1}\}$ となる部分列が $608$ 個存在する。

$a_i=1$ として $\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{i'-1}\}$ となる部分列のうち，$4$ を含むものの個数を $n$ とおく。上記から部分列に $4$ を含むときは部分列の項の数が4，含まないときは項の数が3になることから次の方程式が得られる。

$$4 n + 3 (608- n) = 2020$$

これを解くことにより $n = 196$ が得られる。$a_0 = 1, a_{2020} = 1 , a_{2021} = 2$ より，$a_1 , a_2 , \cdots , a_{2021}$ に現れる $4$ の個数は，$a_0 , a_1 , \cdots ,a_{2019}$ に現れる $4$ の個数と等しい。

こうして求める数が $196$ だとわかる。