三角関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

$a,b$ は実数とする。 $\theta$ の方程式 $\cos^2 \theta + a \sin \theta + b - 1 = 0$ に関して,

(1) $a=1$ のとき, $0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲に相異なる4つの解を持つような $b$ の値の範囲を求めよ。

(2) $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{2}\pi$ の範囲に相異なる解を少なくとも2つ持つような $a,b$ に対し, $ab$ の取りうる値の範囲を求めよ。

次のような関数 $f(\theta)$ を考える。

$$f(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta +\sqrt{2} \sin \theta +\sqrt{2} \cos \theta -1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi)$$

以下の問いに答えよ。

(1) $\sin \theta + \cos \theta = t$ とおくとき，$f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。また $t$ の取りうる範囲を求めよ。

(2) $f(\theta)$ の最大値および最小値を求めよ。

(3) $\theta$ についての方程式 $f(\theta) = b$ の解がちょうど2つとなるような $b$ の範囲を求めよ。

サイコロを3回振り，出た目を順に $a,b,c$ とする。$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cos \dfrac{\pi}{c}$ とおく。

(1) $2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ を用いることで $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を求めよ。

(2) $S=0$ となる確率を求めよ。

(3) $S$ が整数となる確率を求めよ。

(4) $S$ が有理数となる確率を求めよ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接し，$\mathrm{AB} = 2\sqrt{2},\mathrm{BC} = 3,\mathrm{CD} = \sqrt{2} ,\mathrm{DA} = 1$ である。このとき次の問いに答えよ。

(1) $\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{CDA}$ を求めよ。なお度数法を用いること。

(2) $\angle \mathrm{ABC}$ を求めよ。なお度数法を用いること。

(3) $\mathrm{BD}$ を求めよ。

(4) 辺 $\mathrm{AC}$ と辺 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。$\angle \mathrm{AHD}$ を求めよ。なお度数法を用いること。

実数 $y$ に対して $\tan x = y$ を満たす実数 $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ を $\theta (y)$ によってあらわす。

例えば，$\theta (1) = \dfrac{\pi}{4}$，$\theta (0) = 0$ である。

(1) $\theta (\sqrt{3})$ を求めよ。

(2) $m,n$ を $m > n \geqq 2$ となる整数とする。このとき方程式 $$\theta \left( \dfrac{1}{m} \right) + \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(m,n)$ を求めよ。

(3) $m,n$ を $2$ 以上の整数とする。このとき方程式 $$2\theta \left( \dfrac{1}{m} \right) - \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(m,n)$ を求めよ。

(4) $x$ を有理数，$n$ を $2$ 以上の整数とする。このとき方程式 $$2\theta \left( x \right) - \theta \left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{\pi}{4}$$ を満たす $(x,n)$ に現れる $n$ を小さい順に3つ求めよ。

なお，問題を解く上で次の事実を用いてよい。

• 整数の数列 $\{x_k\} , \{y_k\}$ を $(1+\sqrt{2})^k = x_k +y_k \sqrt{2}$ により定義したとき，$x^2 - 2y^2 = \pm 1$ の整数解は $(x_k , y_k)$ によって得られる。また $(x_k ,y_k)$ に現れる数字以外に解となる数は存在しない。