入試数学コンテスト第3回第1問解答解説

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = 2\sin \theta \cos \theta +1$ である。これを代入することで

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2\sin \theta \cos \theta +\sqrt{2} \sin \theta +\sqrt{2} \cos \theta -1\\ &=t^2-1 + \sqrt{2} t -1\\ &=t^2 +\sqrt{2} t -2 \end{aligned}$$ が得られる。また $$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \dfrac{\pi}{4} \right)$$ である。

$0 \leqq \theta < \pi$ より $\dfrac{\pi}{4} \leqq \theta + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{5}{4} \pi$ である。よって求める範囲は $- 1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。

$t = \sin \theta + \cos \theta$ のグラフは次のようになる。

解

$t^2 -2 +\sqrt{2} t$，$- 1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$

(1)より $$f(\theta) = \left(t + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \dfrac{5}{2}$$ である。

$t$ の範囲は $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ であった。$f(\theta)$ は $t$ に関する2次方程式で，$x^2$ の係数は正である。したがって $t=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値 $-\dfrac{5}{2}$ を取る。

最大値を取るのは $t = -1$ のときか $t = \sqrt{2}$ のときである。

$t = -1$ のとき $f(\theta) = -1-\sqrt{2}$，$t = \sqrt{2}$ のとき $f(\theta) = 2$ となる。よって $t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $2$ を取る。

横軸を $t$ 軸とした $y = f (\theta)$ のグラフは次のようになる。

解

最大値$2$，最小値$-\dfrac{5}{2}$

(1)の結果より，$1 \leqq t < \sqrt{2}$ となる $\theta$ は2つ，$t= \sqrt{2}, -1 \leqq t < 1$ となる $\theta$ は1つであることがわかる。

$1 \leqq t <\sqrt{2}$ のとき，$t^2 +\sqrt{2} t -2 = b$ の解は1つであるが，$t$ に対して2つの $\theta$ が対応するため，$f(\theta) =b$ は2つの解を持つことになる。このときの $b$ の範囲は $\sqrt{2} -1 \leqq b < 2$ である。

(2)のグラフより $-\dfrac{5}{2} < b \leqq -1-\sqrt{2}$ のとき $t^2 +\sqrt{2} t -2 = b$ の解は2つあり，その範囲の $t$ に対して $\theta$ はちょうど1つ存在する。したがってこの場合において $f(\theta) = b$ の解となる $\theta$ は2つある。

以上より求める範囲は $-\dfrac{5}{2} < b \leqq -1-\sqrt{2} ,\sqrt{2}-1 \leqq b < 2$である。

解

$-\dfrac{5}{2} < b \leqq -1-\sqrt{2} ,\sqrt{2}-1 \leqq b <2$