微分・積分・極限分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

関数 $f(x), g(x)$ を以下のように定める。 $$\begin{cases} f(x) = 2(e^x - e^{-x})\\ g(x) = 2(e^x + e^{-x}) \end{cases}$$

(1) $\left\{g(2)\right\}^2, \left\{f(2)\right\}^2 + 16$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。

(3) $$\displaystyle\int_0^3 \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + 16}}$$ を計算せよ。

$n$ 個の区別できるボールが横一列に並んでいるとする。

全ての $i$ 対し，左から $i$ 番目にあるボールを左から $k_i$ 番目にうつすような操作を $$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ k_1 & k_2 & k_3 & \cdots & k_{n-1} & k_n \end{array}\right)$$ と表記する。このような操作を単に「操作」と呼ぶことにする。

例えば，$n = 3$ のとき， $$\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\sigma$ は，左端のボールを中央に，中央のボールを右端に，右端のボールを左端に動かす操作である。

自然数 $n$ に対し，「ちょうど2回行うとボールの並びが元の並びと同じになる」という条件を満たす操作の個数を $a_n$ とおく。

例えば，$n = 3$ のとき， $$\tau = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\tau$ は条件を満たすが， $$\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\sigma$ は条件を満たさない。

(1) $n \geq 3$ のとき，$a_n$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ を用いて表せ。

(2) $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log a_n}{\log n!}$$

を求めよ。

$\mathrm{O}$ を原点とする $xy$ 平面を考える。直線 $x = 1$ 上に点 $\mathrm{A}$ を取る。直線 $\mathrm{OA}$ の $x \leqq 0$ の部分に $\mathrm{AB} = 2$ を満たす点 $\mathrm{B}$ が存在するとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $\mathrm{OA}$ と $x$ 軸がなす角を, $x$ 軸の正方向から反時計回りを正として測って $t \, \left( - \dfrac{\pi}{2} \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ とする。$\mathrm{OB} = r \, (r \geqq 0)$ とするとき, $r$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{A}$ が直線 $x = 1$ 上をくまなく動くとき, 点 $\mathrm{B}$ の軌跡を $C$ とする。曲線 $C$ の $y$ 座標の最大値を求めよ。

(3) 曲線 $C$ によって囲まれる領域の面積を求めよ。

$k$ を正の定数，$f(x)=x^3-kx$ とする。いま，曲線 $y=f(x)$ 上に点 $A(a，f(a))$ $(a>0)$ をとり，点 $A$ における $y=f(x)$ の接線 $l$ をひいたところ，$l$ は $y=f(x)$ の法線になった。

以下の問いに答えよ。

(1) $y=f(x)$ と $l$ の共有点のうち，点 $A$ でない点を点 $B$ とする。点 $B$ の $x$ 座標を $a$ を用いて表せ。

(2)　条件を満たす点 $A$ の取り方が存在するような $k$ の条件を求めよ。

(3)　$a$ を $k$ を用いて表せ。

(4)　$k$ が (2) の条件を満たしながら動くとき，$y=f(x)$ と $l$ で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。

$n$ を1以上の実数とする。座標平面上に四次関数のグラフ $C:y=x^4-2x^3$ と $y$ 軸との交点が $-n$ となる二次関数のグラフ $D$ がある。$C$ と $D$ は異なる2点で接している。

(1) $p,q$ を $p < q$ なる2つの実数とする。このとき，

$$\int_p^q (x-p)^2 (x-q)^2 \; dx = N (q-p)^5$$

という式が成立する。$N$ を求めよ。

(2) $C$ と $D$ の接点の $x$ 座標を $\alpha , \beta$ （$\alpha < \beta$）とする。このとき $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求めよ。

(3) $C$ と $D$ によって囲われた領域の面積を $S_n$ とする。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^k S_n$ が0以外の実数に収束する実数 $k$ とその収束値を求めよ。

$\zeta_n = \cos \dfrac{2\pi}{n} + i \sin \dfrac{2\pi}{n}$ とおく。

(1) $(x-y)(x- \zeta_n y)(x - \zeta_n^2 y) \cdots (x-\zeta_n^{n-1} y)$ を展開せよ。

(2) $p =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$q = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$ とおく。 $$|p - \zeta_{2n} q|^2 \cdot |p - \zeta_{2n}^2 q|^2 \cdots |p - \zeta_{2n}^{n-1} q|^2$$ を $p,q$ で表せ。

(3) $$\int_0^{\pi} \log (3+2\cos x) \; dx$$ を求めよ。

(4) 正の実数 $a,b$ に対し $$\int_0^1 \log (a+b \cos^2 \pi x) \; dx$$ を $a,b$ で表せ。

非負整数 $n$ に対して， $$I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x+x^2}dx$$ と定める。

(1) $I_{0}+I_{1}+I_{2}$ の値を求めよ。

(2) $I_{0}$ の値を求めよ。

(3) $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3k+1}-\frac{1}{3k+2} \right)$ の値を求めよ。

実数 $a < b < c$ に対し，3次関数 $f(x)$ が次の条件を満たしている。

• 3次の係数は $1$ である
• $a < b < c$ に対して $f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c$ を満たす

(1) $f(x)$ を $a,b,c$ を用いて表せ。

以下 $a,b,c$ は

• $f(x)$ が極値を持たない

ような範囲を動くとする。

(2) $(b-a)^2+(c-b)^2+(b-a)(c-b)$ の取りうる値の範囲を求めよ。

(3) $k$ を正の定数とする。実数 $s,t$ が $s>0,t>0,s^2+t^2+st=k$ を満たしながら動くとき，$st$ の取りうる値の範囲を求めよ。

(4) $y=f(x)$ と $y=x$ に囲まれた部分の面積を $S$ とするとき，$S$ の取りうる値の範囲を求めよ。

$p,q>0$ とする。$xyz$ 空間において立体 $D_1 , D_2 , D_3$ を次のように定義する。

• $D_1$：中心 $(p,0,0)$，半径 $q$ である $xy$ 平面内の円盤を $y$ 軸中心に1回転させてできるドーナツ状の立体。
• $D_2$：中心 $(0,p,0)$，半径 $q$ である $yz$ 平面内の円盤を $z$ 軸中心に1回転させてできるドーナツ状の立体。
• $D_3$：中心 $(0,0,p)$，半径 $q$ である $zx$ 平面内の円盤を $x$ 軸中心に1回転させてできるドーナツ状の立体。

$D_1 \cup D_2 \cup D_3$ の体積を $V(p,q)$ とおく。

(1) $p \geqq q$ のとき，$D_1$ の表面積と体積をそれぞれ $p,q$ を用いて表せ。

(2) $$\lim_{p \to \infty} \left( \lim_{q \to \infty} \dfrac{V(p,q)}{p^a q^b} \right)$$ が0でない実数値に収束するような実数 $a,b$ を求め，そのときの極限値を求めよ。

(3) $$\lim_{q \to \infty} \left( \lim_{p \to \infty} \dfrac{V(p,q)}{p^c q^d} \right)$$ が0でない実数値に収束するような実数 $c,d$ を求め，そのときの極限値を求めよ。

(4) $D_1 \cap D_2 \cap D_3 = \emptyset$ であるための必要十分条件を $p,q$ を用いて表せ。