入試数学コンテスト第4回第5問解答解説

$$\begin{aligned} &\int_p^q (x-p)^2 (x-q)^2 \; dx \\ &= \int_p^q (x-p)^2 \{ (x-p) + (p-q) \}^2 \; dx\\ &= \int_p^q (x-p)^2 \{ (x-p)^2 - 2 (x-p) (q-p) + (q-p)^2 \} \; dx\\ &= \int_p^q \{ (x-p)^4 - 2 (q-p) (x-p)^3 + (q-p)^2 (x-p)^2 \} \; dx\\ &= \left[ \dfrac{1}{5} (x-p)^5 - \dfrac{1}{2} (q-p) (x-p)^4 + \dfrac{1}{3} (q-p)^2 (x-p)^3 \right]_p^q\\ &= \dfrac{1}{5} (q-p)^5 - \dfrac{1}{2} (q-p)^5 + \dfrac{1}{3} (q-p)^5\\ &= \dfrac{1}{30} (q-p)^5 \end{aligned}$$

よって $N = \dfrac{1}{30}$ である。

$f(x) =x^4-2x^3$ とおく。$D$ の式を $y = ax^2 + bx -n$ とし $g(x) = ax^2 + bx -n$ とおく。

$h(x) = f(x) - g(x)$ とする。条件の $C$，$D$ が2点で接することから，$y=h(x)$ は $x$ 軸と異なる2点で接することになる。ゆえに $h(x) = 0$ は重解を2つ持つ。こうして $x=\alpha$，$x=\beta$ はどちらも重解になる。

方程式 $x^4 -2x^3 -ax^2 -bx +n = 0$ は $(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2 = 0$ となる。

$$\begin{aligned} &(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2 \\ &= x^4 -2(\alpha + \beta) x^3 + (\alpha^2 + 4 \alpha \beta + \beta^2)x^2\\ &\quad - 2(\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2)x + \alpha^2 \beta^2& \end{aligned}$$ であるため，係数を比較すると

$$\begin{cases} 2(\alpha + \beta) &= 2\\ \alpha^2 \beta^2 &= n \end{cases}$$ となる。こうして $$\begin{cases} \alpha + \beta &= 1\\ \alpha \beta &= \pm \sqrt{n} \end{cases}$$ が得られる。

以上より $\alpha , \beta$ は二次方程式 $t^2 - t \pm \sqrt{n} = 0$ の2実数解となる。判別式を計算すると，それぞれ $1 \mp 4\sqrt{n}$　となり，これは正となる必要がある。$n \geq 1$ であるため，$\alpha \beta= \sqrt{n}$ のときは判別が負であり不適となる。こうして $\alpha +\beta =1 , \alpha \beta = -\sqrt{n}$ が得られる。

$\displaystyle S_n = \int_{\alpha}^{\beta} \{ f(x) - g(x) \} \; dx$ である。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 -4\alpha \beta = 1+4\sqrt{n}$ が成り立つため， $$\begin{aligned} S_n &= \int_{\alpha}^{\beta} x^4 -2x^3 -ax^2 -bx +n \; dx\\ &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2 \; dx\\ &= \dfrac{1}{30} (\beta - \alpha)^5\\ &= \dfrac{1}{30} (1+4\sqrt{n})^{\frac{5}{2}} \end{aligned}$$ と計算される。ゆえに $$n^k S_n = \dfrac{1}{30} (n^{\frac{2}{5} k} + 4 n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{5}k})^{\frac{5}{2}}$$ である。

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}k >0$ のとき $n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{5}k} \to \infty \; (n \to \infty)$ である。

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}k <0$ のとき $n^{\frac{2}{5} k} + 4 n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{5}k} \to 0 \; (n \to \infty)$である。

こうして $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}k \neq 0$ のとき，0以外の実数に収束することはない

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}k =0$ のとき，すなわち $k = - \dfrac{5}{4}$ のとき $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n^{-\frac{5}{4}} S_n &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{30} (-n^{\frac{1}{2}} + 4)^{\frac{5}{2}}\\ &= \dfrac{1}{30} 4^{\frac{5}{2}} = \dfrac{16}{15} \end{aligned}$$ である。

以上より求めるべき $k$ は $-\dfrac{5}{4}$ であり，収束値は $\dfrac{16}{15}$ である。