第4問
k k k f ( x ) = x 3 − k x f(x)=x^3-kx f ( x ) = x 3 − k x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) A ( a ， f ( a ) ) A(a，f(a)) A ( a ， f ( a )) ( a > 0 ) (a>0) ( a > 0 ) A A A y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l l l l y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x )
以下の問いに答えよ。
(1) y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l A A A B B B B B B x x x a a a
(2) 条件を満たす点 A A A k k k
(3) a a a k k k
(4) k k k y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l
第4問は微積分の問題です。問題設定の状況把握や条件の処理，また計算の処理能力を問う問題です。
(1)は直交する2直線の傾きの積が − 1 -1 − 1
第4問(1)
f ′ ( x ) = 3 x 2 − k f'(x)=3x^2-k f ′ ( x ) = 3 x 2 − k A ( a ， f ( a ) ) A(a，f(a)) A ( a ， f ( a )) y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l l : y = ( 3 a 2 − k ) ( x − a ) + ( a 3 − k a ) = ( 3 a 2 − k ) x − 2 a 3
l: y=(3a^2-k)(x-a)+(a^3-ka)=(3a^2-k)x-2a^3
l : y = ( 3 a 2 − k ) ( x − a ) + ( a 3 − ka ) = ( 3 a 2 − k ) x − 2 a 3
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l x 3 − k x = ( 3 a 2 − k ) x − 2 a 3
x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3
x 3 − k x = ( 3 a 2 − k ) x − 2 a 3 x 3 − 3 a 2 x + 2 a 3 = 0 ( x − a ) 2 ( x + 2 a ) = 0
x^3 - 3a^2 x +2a^3 = 0\\
(x-a)^2(x+2a)=0
x 3 − 3 a 2 x + 2 a 3 = 0 ( x − a ) 2 ( x + 2 a ) = 0 B B B x x x − 2 a -2a − 2 a
次の問題は本来四次方程式であるものを二次方程式として考える問題です。与えられている a a a k k k
第4問(2)
点 B B B f ′ ( − 2 a ) = 12 a 2 − k f'(-2a)=12a^2-k f ′ ( − 2 a ) = 12 a 2 − k l l l a a a ( 12 a 2 − k ) ( 3 a 2 − k ) = − 1
(12a^2-k)(3a^2-k)=-1
( 12 a 2 − k ) ( 3 a 2 − k ) = − 1 36 a 4 − 15 k a 2 + k 2 + 1 = 0
36a^4-15ka^2+k^2+1=0
36 a 4 − 15 k a 2 + k 2 + 1 = 0 a > 0 a>0 a > 0 k k k
X = a 2 X=a^2 X = a 2 X X X 36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 = 0 36X^2-15kX+k^2+1=0 36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 = 0 36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 = 36 ( X − 5 24 k ) 2 − 9 16 k 2 + 1
36X^2 - 15kX +k^2+1 = 36\left(X-\dfrac{5}{24} k \right)^2 - \dfrac{9}{16} k^2 +1
36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 = 36 ( X − 24 5 k ) 2 − 16 9 k 2 + 1 k k k X > 0 X>0 X > 0 36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 36X^2 - 15kX +k^2+1 36 X 2 − 15 k X + k 2 + 1 X = 5 24 k X=\dfrac{5}{24} k X = 24 5 k − 9 16 k 2 + 1 - \dfrac{9}{16} k^2 +1 − 16 9 k 2 + 1 0 0 0 k ≧ 4 3 k \geqq \dfrac{4}{3} k ≧ 3 4 k k k
次の問題は単純に計算をするだけです。
第4問(3)
(2)で得られた方程式を a a a a 2 = 5 k ± 9 k 2 − 16 24
a^2=\dfrac{5k\pm \sqrt{9k^2-16}}{24}
a 2 = 24 5 k ± 9 k 2 − 16 a = 5 k ± 9 k 2 − 16 2 6 a=\dfrac{\sqrt{5k\pm \sqrt{9k^2-16}}}{2\sqrt{6}} a = 2 6 5 k ± 9 k 2 − 16
最後の問題は最小値の計算になります。
まずは囲まれた面積を計算しましょう。やはり a a a 放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式
を思い出す人もいるとおもいます。1/6公式は二次関数にまつわる面積でしたが，今回は三次関数です。そのため事情が少々変わります。実際に計算を見てみましょう。
∫ α β ( x − α ) ( x − β ) 2 d x = ∫ α β { ( x − β ) + ( β − α ) } ( x − β ) 2 d x = ∫ α β { ( x − β ) 3 + ( β − α ) ( x − β ) 2 } d x = [ 1 4 ( x − β ) 4 + 1 3 ( β − α ) ( x − β ) 3 ] α β = 1 3 ( β − α ) 4 − 1 4 ( β − α ) 4 = 1 12 ( β − α ) 4 \begin{aligned}
&\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha) (x-\beta)^2 \;dx\\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\beta)+(\beta - \alpha) \} (x-\beta)^2 \;dx\\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (x-\beta)^3 + (\beta -\alpha) (x-\beta)^2 \} \; dx\\
&= \left[ \dfrac{1}{4} (x-\beta)^4 +\dfrac{1}{3} (\beta - \alpha)(x-\beta)^3 \right]_{\alpha}^{\beta}\\
&= \dfrac{1}{3} (\beta - \alpha)^4 - \dfrac{1}{4} (\beta - \alpha)^4\\
&= \dfrac{1}{12} (\beta- \alpha)^4
\end{aligned} ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) 2 d x = ∫ α β {( x − β ) + ( β − α )} ( x − β ) 2 d x = ∫ α β {( x − β ) 3 + ( β − α ) ( x − β ) 2 } d x = [ 4 1 ( x − β ) 4 + 3 1 ( β − α ) ( x − β ) 3 ] α β = 3 1 ( β − α ) 4 − 4 1 ( β − α ) 4 = 12 1 ( β − α ) 4
実はこのような公式は一般化されます。詳しくは ベータ関数の積分公式 を読んでみてください。
積分を計算して面積を求めた後は，これまでの小問で求めた結果を活用することで，a a a
第4問(4)
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) l l l S S S S = ∫ − 2 a a ( x + 2 a ) ( x − a ) 2 d x = ( a − ( − 2 a ) ) 4 12 = 27 a 4 4 \begin{aligned}
S&=\int_{-2a}^{a} (x+2a)(x-a)^2 dx \\
&=\dfrac{(a-(-2a))^4}{12} \\
&=\dfrac{27a^4}{4}
\end{aligned} S = ∫ − 2 a a ( x + 2 a ) ( x − a ) 2 d x = 12 ( a − ( − 2 a ) ) 4 = 4 27 a 4
よって k ≧ 4 3 k\geqq\dfrac{4}{3} k ≧ 3 4 a 2 a^2 a 2
(3)より a 2 = 5 k − 9 k 2 − 16 24 a^2=\dfrac{5k-\sqrt{9k^2-16}}{24} a 2 = 24 5 k − 9 k 2 − 16 g ( k ) = 5 k − 9 k 2 − 16 g(k)=5k-\sqrt{9k^2-16} g ( k ) = 5 k − 9 k 2 − 16 k ≧ 4 3 k\geqq \dfrac{4}{3} k ≧ 3 4 g ( k ) g(k) g ( k )
g ′ ( k ) = 5 − 9 k 9 k 2 − 16
g'(k) = 5 - \dfrac{9k}{\sqrt{9k^2-16}}
g ′ ( k ) = 5 − 9 k 2 − 16 9 k
g ′ ( k ) = 0 5 = 9 k 9 k 2 − 16 25 ( 9 k 2 − 16 ) = 81 k 2 16 ⋅ 9 k 2 − 25 ⋅ 16 = 0 k 2 = ( 5 3 ) 2 \begin{aligned}
&g'(k)=0\\
&5 = \dfrac{9k}{\sqrt{9k^2-16}}\\
&25 (9k^2-16)= 81k^2\\
&16\cdot 9k^2 -25\cdot 16=0\\
&k^2 = \left( \dfrac{5}{3} \right)^2
\end{aligned} g ′ ( k ) = 0 5 = 9 k 2 − 16 9 k 25 ( 9 k 2 − 16 ) = 81 k 2 16 ⋅ 9 k 2 − 25 ⋅ 16 = 0 k 2 = ( 3 5 ) 2 g ′ ( k ) = 0 g'(k)=0 g ′ ( k ) = 0 k = 5 3 k=\dfrac{5}{3} k = 3 5 k 4 3 ⋯ 5 3 ⋯ g ′ ( k ) − 0 + g ( k ) ↘ m i n ↗
\begin{array}{c|cccc}
k & \dfrac{4}{3} & \cdots & \dfrac{5}{3} & \cdots\\
\hline
g'(k) && - & 0 & + \\
\hline
g(k) && \searrow& \mathrm{min} &\nearrow
\end{array}
k g ′ ( k ) g ( k ) 3 4 ⋯ − ↘ 3 5 0 min ⋯ + ↗ g ( k ) g(k) g ( k ) k = 5 3 k = \dfrac{5}{3} k = 3 5 16 3 \dfrac{16}{3} 3 16
以上により，求める S S S 27 4 ( 1 24 ⋅ 16 3 ) 2 = \dfrac{27}{4}\left(\dfrac{1}{24}\cdot\dfrac{16}{3}\right)^2= 4 27 ( 24 1 ⋅ 3 16 ) 2 = 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1
根号を含む関数の微分は計算ミスが起こりやすいポイントなので注意をしましょう。また導関数の符号を間違えると増減が変わってしまいます。丁寧にチェックをしましょう。
