入試数学コンテスト第4回第3問解答解説

$m^2-mn+n^2=k$ を満たす整数解の個数を考える。$m^2-nm+n^2-k=0$ とし，これを $m$ についての二次方程式と見ると， $$m=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4(n^2-k)}}{2}=\frac{n \pm \sqrt{4k-3n^2}}{2}$$ が成立する。$m$ が整数であるためには，$m$ が実数でなければならない。ゆえに $4k-3n^2 \geqq 0$ が成立しなければならない。これより，$\displaystyle n^2 \leqq \frac{4}{3} k$ が従う。 今，$k=2$ であるから，$n \leqq \sqrt{\dfrac{8}{3}}$ となるため，$n$ の候補は，$n=0, \pm 1$ となる。

$n=0$ のとき $4k-3n^2 = 8$ であるため $m = \pm \sqrt{2}$ となり，$m$ は整数とならない。

$n = \pm 1$ のとき $4k-3n^2 = 5$ であるため $m = \dfrac{\pm1\pm\sqrt{5}}{2}$ （複合は任意）となり，$m$ は整数とならない。

ゆえに，$f(2)=0$ である。

$2$ 以上の正整数 $a$ に対して，$f(2^{a})=f(2^{a-2})$ となることを示す。

$m, n$ の少なくとも一方が奇数であるとすると, $m^2-mn+n^2$ は奇数となる。 このとき， $m^2-mn+n^2=2^{a}$ は成立しない。 よって，$m, n$ はいずれも偶数であるから，$m=2m', n=2n'$ と書ける。 $a\geq2$ より，${m'}^2-{m'}{n'}+{n'}^2=2^{a-2}$ となるので，$m^2-mn+n^2=2^{a}$ の解は ${m'}^2-{m'}{n'}+{n'}^2=2^{a-2}$ の解となる。

逆に ${m'}^2-{m'}{n'}+{n'}^2=2^{a-2}$ の解は，方程式の両辺に4を掛けることで $m^2-mn+n^2=2^{a}$ の解に対応する。 ゆえに主張が従う。

次に $f(1)$ を求める。(1) 同様に考えると， $$m = \frac{n \pm \sqrt{4-3n^2}}{2}$$ である。$4-3n-2 \geqq 0$ より $n = 0,\pm 1$ となる。

$n=0$ のとき $m = \pm 1$ となる。

$n=1$ のとき $m = \dfrac{1 \pm 1}{2} = 0,1$ となる。

$n=-1$ のとき $m = \dfrac{-1 \pm 1}{2} = 0,-1$ となる。

以上より $f(1) = 6$ となる。

こうして $i$ が偶数のとき，$f(2^{i})=6$，$i$ が奇数のとき，$f(2^{i})=0$ となる。

ゆえに， $$\sum_{i=0}^{2021} f(2^{i})=6 \times 1011=6066$$ である。