円と正多角形の間の等周問題～東北大学AO2022

周長を $1$ として計算してよい（周長を $k$ 倍すると，面積 $S,T$ はいずれも $k^2$ 倍になるので）。

• $S$ の計算

$A$ の中心を $\mathrm{O}$ とする。頂点には反時計回りに $\mathrm{A}_i$ と番号を付ける。

このとき $$S = n \ \triangle \mathrm{O} \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$$ である。

$\triangle \mathrm{O} \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$ は底辺の長さが $\dfrac{1}{n}$，頂角が $\dfrac{2\pi}{n}$ の二等辺三角形である。

よってその面積は $$\begin{aligned} \triangle \mathrm{O} \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{2n \tan \dfrac{\pi}{n}}\\ &= \dfrac{1}{4n\tan \dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}$$ である。

• $T$ の計算

周長が $1$ であるため半径は $\dfrac{1}{2\pi}$ である。よって $$\begin{aligned} T &= \pi \left( \dfrac{1}{2\pi} \right)^2\\ &= \dfrac{1}{4 \pi} \end{aligned}$$ となる。

• 比較

$n \tan \dfrac{\pi}{n}$ と $\pi$ の比較をすればよい。

実数 $x \ \left( x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi , k \in \mathbb{Z} \right)$ について，次が成り立つ。 $$\tan x > x$$ → 注

この不等式を用いると， $$n \tan \dfrac{\pi}{n} > n \times \dfrac{\pi}{n} = \pi$$ である。

よって $$T = \dfrac{1}{4\pi} > \dfrac{1}{4n \tan \dfrac{\pi}{n}} = S$$ を得る。

$f(x) = \tan x - x$ とする。$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 > 0$ である。（$0 < \cos^2 x < 1$ に注意）

よって $f(x)$ は単調に増加するため $f(x) > f(0) = 0$，つまり $\tan x > x$ である。（証明終了）

$x > 0$ とする。 $f(x) = \dfrac{\tan x}{x}$ とおく。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\dfrac{x}{\cos^2 x} - \tan x}{x^2}\\ &= \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}\\ &= \dfrac{x - \dfrac{1}{2} \sin 2x}{x^2 \cos^2 x}\\ &= \dfrac{2x - \sin 2x}{2x^2 \cos^2 x} \end{aligned}$$

一般に $t - \sin t > 0$ であるため $f'(x) > 0$ である。

よって $f(x)$ は単調に増加する。

これより $n \tan \dfrac{\pi}{n}$ は単調に減少し，$S (n)$ は単調に増加することが分かる。