関数の極限の問題です。

高校数学で僕たちが使える三角関数の極限の公式は、基本的に

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

だけです。（$\cos$ や $\tan$ の極限公式と言われるものもありますが、いずれも上記公式より導くものです）

なので、この問題をみた瞬間に $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}$ を $\lim_{t \to 0}$ の形に変更したいと考えるのが定石です。

そうしてなんとか $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ の形を作り出します。

さて、定石に従い $t=\dfrac{\pi}{2} - x$ とおくと、写真赤枠の手前の式までは簡単に式変形できますね。

あとは、上記公式を使うために $\cos$ や $\tan$ を$\sin$ に直すことを考えます。

ようやく赤枠の部分ですが、ここでは[三角関数の還元公式](https://manabitimes.jp/math/1246)を用いています。

本来であれば一瞬で変換したいところなのですが、敢えて丁寧にやると次のように変換します。慣れれば頭の中で一瞬で出来ます。

$$\cos(\frac{3\pi}{2}-3t) = \cos(\pi+(\frac{\pi}{2}-3t)) = -\cos(\frac{\pi}{2}-3t)$$

したがって

$$\cos(\frac{3\pi}{2}-3t) = -\cos(\frac{\pi}{2}-3t) = -\sin(3t)$$

$\tan$ についても、$\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$ とすれば、還元公式が使える形に変更できますね。

あとは $t$ の係数を公式の形に合わせて式変形をするだけです！

とにかく $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ を作るということを頭に入れておけば、三角関数の極限計算は大体なんとかなります。