シルベスターの数列とその性質

数学的帰納法で簡単に証明できる。

$n=0$ のときは両辺ともに $2$ となり成立。

また，$n=k$ のときを仮定すると，

$$\begin{aligned} a_{k+1} &= a_k^2-a_k+1\\ &=\left(1+\prod_{i=0}^{k-1}a_i\right)^2-\prod_{i=0}^{k-1}a_i\\ &=\prod_{i=0}^{k-1}a_i \left(\prod_{i=0}^{k-1}a_i+1\right) +1\\ &=\prod_{i=0}^{k}a_i+1 \end{aligned}$$

となり $n=k+1$ のときも成立する。

$n=1$ のとき，$2 < a_1 < 4$ より正しい。

フェルマー数の性質（$F_n=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}F_k+2$ ）と上記の性質1を用いると示すべき不等式は，以下のように2通りでかける（同値な不等式）

1. $F_{n-1}-1 < a_n < F_{n}-1$

2. $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-2}F_k <\prod_{k=0}^{n-1}a_k <\prod_{k=0}^{n-1}F_k$

これを帰納法で示す。 $n$ のとき1も2も成立していると仮定すると，

2の不等式の各辺に $a_{n}$ をかけて，

$$a_{n}\prod_{k=0}^{n-2}F_k <\prod_{k=0}^{n}a_k <a_{n}\prod_{k=0}^{n-1}F_k$$

これに1を用いると（左側の不等式は整数性に注意して $F_{n-1} \leq a_n$ とより強い不等式を用いる）

$$\prod_{k=0}^{n-1}F_k <\prod_{k=0}^{n}a_k <\prod_{k=0}^{n}F_k$$

となり $n+1$ のときも2が成立することが示された。