エジプト分数(単位分数の和)に関する4つの話題
のように,分子が である分数を単位分数と言います。
のように,分母が異なる単位分数の和のことをエジプト分数(エジプト式分数)と言います。
エジプト分数に関連する4つの話題を紹介します。
分子が1の場合
分子が1の場合
まずは,分子が である分数 をエジプト分数で表してみましょう。
という等式を使うと,
のように表せます。ちなみに,上記の等式は右辺を通分すれば簡単に示せます。
有名な整数問題
有名な整数問題
次に,1を単位分数の和で表してみましょう。
を満たす正の整数の組 をすべて求めよ。
入試で頻出の整数問題です。不等式で範囲を絞ります(不定方程式の解き方6パターンのパターン4)。
まず, のもとで考える。
だと, も も 以上になるので, となり不適。
-
の場合
を満たす を求めたいが, だと となり不適。よって, のみが解。 -
の場合
を満たす を求めたいが, だと となり不適。よって, が解。
よって,答えは とその並べ替え。
分母が異なるのは の場合だけです。 というのはなかなかきれいな式です。
ちなみに,この問題の不等式バージョンに関する話題としてシルベスターの数列とその性質もおもしろいです。
必ずエジプト分数で表せる
必ずエジプト分数で表せる
より大きく より小さい任意の有理数は,エジプト分数の形で表せる。
証明はきちんと書くと少し長いですが,要するに貪欲法(とれるだけとっていくことを繰り返す)」です。
具体的に,( は正の整数で )をエジプト分数で表す方法を述べる。
まず,一番「惜しい」単位分数,つまり 以下の中で に最も近い単位分数 を選ぶ。
つまり,
このとき, となるので,残った を単位分数の和で表せばよい。
ところが,上の不等式より つまり, なので,残った の分子はもとの分子 よりも小さい。よって,この操作を最大 回繰り返すと分子が になるので, は単位分数の和で表せる。
また,選ばれた単位分数の分母たちが互いに異なることも確認できる。具体的には,選ぶたびに が増えていくことが,以下のように証明できる。
- 「残り」は単調減少するので が減ることはない。
- 「残りが の状態」から同じ が2回続くと仮定すると,
より ,つまり となるが, よりそんなことはない。よって同じ が続くこともない。
例えば,上記の貪欲法で をエジプト分数にしてみましょう。
- について,一番「惜しい」単位分数は である。残りは
- について,一番「惜しい」単位分数は である。残りは
- は単位分数
よって,
補足
記事公開後,以下の2つを Twitter で教えていただきました!
- 上記の証明が誘導付きで2021年広島大学の後期に出題されています。
- 上記の定理では「1より小さい」としましたが,1以上の場合もエジプト分数の形で表せます!
調和級数が発散することから,正の有理数 に対して を満たす が存在する。 は より小さい有理数なので,さきほどの手法でエジプト分数の形で表せる。その際, よりも小さいことから分母として現れるのは 以上の整数。
調和数列の和
調和数列の和
エジプト分数と調和数列に関する定理です。
を正の整数とする。このとき, は整数ではない。
非常に簡潔でおもしろい定理ですが,証明は難しそうです。→Erdős の論文(外部PDF)
かつ の場合について,ベルトランの仮説を用いた証明を思いついたので紹介します。
が整数にならないことを証明する。
以下の素数の中で最大のものを とする。すると, となる。なぜなら,もし と仮定すると,ベルトランの仮説より から の間に別の素数 が存在するが,これは の最大性に矛盾する。
よって, から の中で の倍数は のみである。よって, を通分したもの: の分子の第 項以外はすべて の倍数になり,第 項は の倍数ではない。つまり,分子は の倍数ではない。一方,分母は の倍数なので, は整数ではない。
エジプトと聞くとガウス分布くんを思い出します。