例題
例題
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D={(x,y)∈R2∣0≦x+y≦1,0≦x−y≦1} とする。
∬D(x2−y2)dxdy
を求めよ。
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次の積分を計算せよ。
∬R2e−x2−y2dxdy
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D={(x,y,z)∈R3∣x2+4y2+9z2≦1} とする。
∭Dz2dxdydz
を求めよ。
1の解答
直接計算するのは手間がかかりそうです。しかし積分範囲と被積分関数をよく見れば,どのように置換すればよいのか気付けます。
解答
u=x+y,v=x−y と置換する。
このとき x=2u+v,y=2u−v となり,ヤコビアンを計算すると
∣J∣=∣∣21⋅(−21)−21⋅21∣∣=21
となる。よって積分は
∬D(x2−y2)dxdy=∬D(x+y)(x−y)dxdy=∫01∫0121uvdudv=81
である。
2の解答
解答
x=rcosθ,y=rsinθ と置換する。
このときヤコビアンは r である。よって積分は
∬R2e−x2−y2dxdy=∫02π∫0∞re−r2drdθ=2π[21e−r2]0∞=π
である。
最初の式を変形すると
∬R2e−x2−y2dxdy=(2∫0∞e−x2dx)2
となります。ここから ガウス積分 の公式
∫0∞e−x2dx=2π
が得られます。
3の解答
解答
x=rsinθcosϕ,y=2rsinθsinϕ,z=3rcosϕ
(0≦r≦1,0≦θ≦π,0≦ϕ≦2π)
と置換する。
3次元極座標のヤコビアンにならってヤコビアンを計算すると,J=6r2sinθ となる。
よって積分は
∭Dz2dxdydz=∫01∫0π∫02π54r4cos2ϕdϕdθdr=54∫01r4dr∫0πdθ∫02πcos2ϕdϕ=54⋅51⋅π⋅π=554π2
である。
面積・体積の計算
xy 平面上の領域 D に対して
∬Ddxdy
により D の面積を計算できます。
同様に xyz 空間内の領域 D に対して
∭Ddxdydz
により D の体積を計算できます。
球の体積
原点中心,半径 R の球を B とおきます。B の体積は
∭Bdxdydz
で与えられます。
xyz 座標から3次元極座標の座標変換をして計算しましょう。ヤコビアンは r2sinθ であるため,
∭Bdxdydz=∫0R∫0π∫02πr2sinθdϕdθdr=∫0Rr2dr∫0πsinθdθ∫02πdϕ=34πR3
と計算されます。