極線の方程式の証明と応用

極線の方程式の公式 $x_1x+y_1y=r^2$ を使うと，求める方程式は $3x+5y=4$ となる。

$x_1x+y_1y=r^2$ という式は

• 左辺が $x,y$ の一次式であり直線を表す。
• 後ほど証明（※）するように，$P$ を通る。同様に $Q$ も通る。

$P,Q$ を通る直線は一本しかないので $x_1x+y_1y=r^2$ こそが求める極線である。

※ $P$ を通ることの証明
$x^2+y^2=r^2$ 上の点 $P(p_x,p_y)$ における接線の方程式は，$p_xx+p_yy=r^2$
これが点 $A(x_1,y_1)$ を通るとき，$p_xx_1+p_yy_1=r^2$ を満たす。つまり，$x_1x+y_1y=r^2$ 上に点 $P$ がある。

放物線 $x^2=4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot y$ と極 $(a,-1)$ に対して極線の方程式の公式を使うと，

$$ax=\dfrac{1}{2} (-1+y)\\ y=2ax+1$$

図形全体を $x$ 軸方向に $-a$，$y$ 軸方向に $-b$ 平行移動して円の中心を原点にずらす：

円： $x^2+y^2=r^2$

外側の点： $(x_1-a,y_1-b)$

よってさきほどの結果より，これらに対する極線の方程式は

$$(x_1-a)x+(y_1-b)y=r^2$$

これを元に戻す（$x$ 軸方向に $a$，$y$ 軸方向に $b$ 平行移動）

すると求める極線の方程式が得られる！

$C:x^2+y^2=r^2,$

$A(a,0),$

$l:y=m(x-a)$ と座標を設定する。

目標は $AS:SB=AT:TB$ だが，長さを計算するのは面倒なので全て $x$ 座標の比率で考える（注1）

• 極線の方程式は $ax=r^2$ より $B$ の $x$ 座標は $\dfrac{r^2}{a}$
• 直線と円の方程式を連立させて $y$ を消去すると，

$$x^2(m^2+1)-2am^2x+a^2m^2-r^2=0$$

なので $S,T$ の $x$ 座標を $\beta,\alpha$ として

解と係数の関係より

$$\alpha+\beta=\dfrac{2am^2}{m^2+1}, \alpha\beta=\dfrac{a^2m^2-r^2}{m^2+1}$$

ここで，目標は，

$$\begin{aligned} & (a-\beta) : \left( \beta-\dfrac{r^2}{a} \right) = (a-\alpha) : \left( \dfrac{r^2}{a}-\alpha \right)\\ &\iff 2r^2+2\alpha\beta-(a+\dfrac{r^2}{a})(\alpha+\beta)=0 \end{aligned}$$

なので上記の結果を代入して左辺を計算すると確かに成立していることが分かる。

接弦定理より，

$\angle APS=\angle SQB$ （$=\alpha$ とおく）

$\angle BPS=\angle SQA$ （$=\beta$ とおく）

$\angle TPB=\gamma$ とおく

$\angle PQT=\delta$ とおく

すると（頂点 $P$ を含む）三角形の面積比に注目することで

$$\begin{aligned} \dfrac{AS}{SB}\cdot\dfrac{TB}{AT} &= \dfrac{AP\sin\alpha}{BP\sin\beta}\cdot\dfrac{BP\sin\gamma}{AP\sin(\alpha+\beta+\gamma)}\\ &= \dfrac{\sin\alpha\sin\gamma}{\sin\beta\sin\delta} \end{aligned}$$

（$\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}$ であることを用いた）

同様に（頂点 $Q$ を含む）三角形の面積比に注目することで

$$\begin{aligned} \dfrac{AS}{SB} \cdot \dfrac{TB}{AT} &= \dfrac{AQ\sin\beta}{BQ\sin\alpha} \cdot \dfrac{BQ\sin\delta}{AQ\sin(\alpha+\beta+\delta)}\\ &= \dfrac{\sin\beta\sin\delta}{\sin\alpha\sin\gamma} \end{aligned}$$

以上2つの式より（$x=\dfrac{1}{x}$ かつ $x> 0$ なら $x=1$ なので）$\dfrac{AS}{SB}\cdot\dfrac{TB}{AT}=1$ である。