入試数学コンテスト第3回第3問解答解説

議論を簡潔にするため半直線 $AB$ 上の点 $D$ を取る。直線 $BI$ は $\angle ABC$ の二等分線，直線 $BJ$ は $\angle CBD$ の二等分線であることを用いると， $$\begin{aligned} \angle IBJ &= \angle IBC + \angle CBJ\\ &= \dfrac{1}{2} \angle ABC + \dfrac{1}{2} \angle CBD\\ &= \dfrac{1}{2} (\angle ABC + \angle CBD) = 90^{\circ} \end{aligned}$$ である。

よって $\angle IBJ = 90^{\circ}$ である。同様に $\angle ICJ = 90^{\circ}$である。

解

$\angle IBJ =$ $90^{\circ}$

$\angle ICJ =$ $90^{\circ}$

1の結果より $$\angle IBJ + \angle ICJ = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$ である。

向かい合う角の大きさの和が $180^{\circ}$ である四角形は円に内接するため $I,B,J,C$ は共円である。この円の中心を $O$ とおく。

$\angle IBJ = 90^{\circ}$ と円周角の定理より $\angle IOJ = 180^{\circ}$ である。よって $IJ$ はこの円の直径であり，$IJ$ の中点である $M$ は $O$ と一致する。

したがって $MI=MB=MC=MJ$ である。こうして $\dfrac{BM}{MC}=1$ が得られる。

解

$\dfrac{BM}{MC}=$$1$

$$\begin{aligned} \angle MBC &= \angle IBM - \angle IBC \\ &= \angle IBM - \angle ABI &(IB \text{は} \angle ABC \text{の二等分線})\\ &= \angle BIM - \angle ABI &(IM=IB)\\ &= \angle BAM\\ &= \angle MAC &(IA \text{は} \angle BAC \text{の二等分線}) \end{aligned}$$ であるので，円周角の定理の逆より $A,B,M,C$ は共円である。

円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^{\circ}$ である。よって $\angle BMC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - x^{\circ}$である。

図を描くと以下のようになる。なお同じ大きさの角は同じ色で表されている。

解

$180-x$

$$\begin{aligned} \angle JBM &= \angle BJM &(IM=MB)\\ &= \angle BJI\\ &= \angle BCI &(I,B,J,C \text{は共円})\\ &= \angle ICA &(IC \text{は} \angle BCA \text{の二等分線})\\ \angle JCM &= \angle CJM &(IM=MC)\\ &= \angle CJI\\ &= \angle CBI &(I,B,J,C \text{は共円})\\ &= \angle IBA &(IB \text{は} \angle ABC \text{の二等分線})\\ \end{aligned}$$ である。よって $$\begin{aligned} &\angle ABM + \angle ACM\\ &= \angle ICA + \angle ICM + \angle IBA + \angle IBM\\ &= \angle JBM + \angle ICM + \angle JCM + \angle IBM\\ &= (\angle JBM + \angle IBM) + (\angle JCM + \angle ICA)\\ &= \angle IBJ + \angle ICJ = 180^{\circ} \end{aligned}$$ であるため $A,B,M,C$ は共円である。

図を描くと以下のようになる。なお同じ大きさの角は同じ色で表されている。

$\bigtriangleup ABC$ の外接円と，$\angle A$ の二等分線の交点を $K$ とおく。$\bigtriangleup ABK$ と $\bigtriangleup ACK$ の外接円は等しい。そのため正弦定理により $$\dfrac{\sin \angle KAB}{KB} = \dfrac{\sin \angle KAC}{KC}$$ である。$AK$ が $\angle A$ の二等分線であることから $KB=KC$ が従う。

ゆえに $K$ は $\angle A$ の二等分線と，$BC$ の垂直二等分線の交点であることがわかる。

二直線の交点は高々1つであることに注意すると， $\angle A$ の二等分線と，$BC$ の垂直二等分線の交点は必ず $K$ となることがわかる。

(2) より $MB=MC$ であるため，$M$ は $BC$ の垂直二等分線上にある。また仮定から $M$ は $\angle A$ の二等分線上にある。こうして $M$ は $K$ になることが従い，$A,B,C,M$ が共円であることが分かる。

$\angle ABC = y^{\circ}$ とおく。

$CN = IM = MC$ より $\bigtriangleup CMN$ は二等辺三角形である。

よって $\angle CNM = \angle CMN = x^{\circ}$ である。また $\angle CNM = \angle ANB = \angle ABN$ であるため，$\bigtriangleup BAN$ は二等辺三角形である。

$\bigtriangleup BAN$ は二等辺三角形であるため，$AB = BN$ である。また $BN = BM + MN = IM + IA = AM$ であるため，$AB=AM$ が得られる。したがって $\bigtriangleup ABM$ は二等辺三角形である。

$\bigtriangleup BAN$ の内角に注目すると， $$\begin{aligned} 180 &= \angle BAN + \angle ANB + \angle NBA\\ &= x + x + \left( y + \dfrac{1}{2} x \right)\\ &= \dfrac{5}{2} x + y \end{aligned}$$ が得られる。また $\bigtriangleup ABM$ の内角に注目すると， $$\begin{aligned} 180 &= \angle BAM + \angle AMB + \angle MBA\\ &= \angle BAM + 2 \angle AMB\\ &= \dfrac{1}{2} x + 2 \left( y + \dfrac{1}{2}x \right)\\ &= \dfrac{3}{2} x + 2y \end{aligned}$$ が得られる。こうして連立方程式 $$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{5}{2} x + y = 180\\ \dfrac{3}{2} x +2y = 180 \end{cases} \end{aligned}$$ が得られる。これを解いて $x = \dfrac{360}{7}$ が得られる。

図を描くと以下のようになる。なお同じ大きさの角は同じ色で表されている。同じ長さの辺を強調するために，$\circ$ を用いている。

解

$\dfrac{360}{7}$