円周角の定理とその逆の証明

更新日時 2021/08/22
円周角の定理
  1. 中心角円周角の2倍
  2. 同じ弧に対する円周角は全て等しい

円周角の定理

円周角の定理は,中学で習い高校でもよく使う重要な定理です。

この記事では,円周角の定理とその逆について意味と証明を紹介します。

目次
  • 円周角の定理の証明

  • 円周角の定理2の証明

  • 円周角の定理の逆

  • 円周角の定理を応用したさまざまな定理

円周角の定理の証明

「円周角の定理1:中心角=円周角の2倍」を証明します。

つまり,円周角を ACB\angle ACB,円の中心を OO として,AOB=2ACB\angle AOB=2\angle ACB を証明します。

証明
  1. 三角形 ABCABC の内側に OO があるとき 三点の中に円の中心がある画像 図のように補助線を引くと,二等辺三角形より ACO=CAO,BCO=CBO\angle ACO = \angle CAO,\:\angle BCO = \angle CBO である。よって,三角形の外角より AOD=2 ACOBOD=2 BCO \angle AOD = 2\ \angle ACO\\ \angle BOD = 2\ \angle BCO となる。以上から, AOB=AOD+BOD=2ACO+2BCO=2(ACO+BCO)=2ACB\begin{aligned}&\angle AOB\\ &=\angle AOD+\angle BOD\\ &=2\angle ACO+2\angle BCO\\ &=2(\angle ACO+\angle BCO)\\ &=2\angle ACB \end{aligned}

  2. 三角形 ABCABC の辺上に OO がある場合 三点を結ぶ線分上に円の中心がある画像 図のように補助線を引くと,二等辺三角形より ACB=CBO\angle ACB = \angle CBO となる。よって,三角形の外角より AOB=2 ACB \angle AOB = 2\ \angle ACB

  3. 三角形 ABCABC の外側に OO があるとき 三点を結ぶ線分の外に円の中心がある画像 図のように補助線を引くと,二等辺三角形より ACO=CAO,BCO=CBO\angle ACO = \angle CAO,\:\angle BCO = \angle CBO となる。よって三角形の外角より, AOD=2 ACOBOD=2 BCO \angle AOD = 2\ \angle ACO\\ \angle BOD = 2\ \angle BCO となる。以上から, AOB=BODAOD=2BCO2ACO=2(BCOACO)=2ACB\begin{aligned} &\angle AOB\\ &=\angle BOD-\angle AOD\\ &=2\angle BCO-2\angle ACO\\ &=2(\angle BCO-\angle ACO)\\ &=2\angle ACB \end{aligned}

円周角の定理2の証明

「円周角の定理2:同じ弧に対する円周角は等しい」を証明します。

円周角の定理1を用いれば簡単です。

証明

円周角の定理の証明2

「円周角の定理1:円周角=中心角の半分」より ACB=12AOBADB=12AOB \angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB\\ \angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle AOB よって, ACB=ADB \angle ACB =\angle ADB

円周角の定理の逆

円周角の定理は「(円ならば)円周角は等しい」と解釈できます。実は,その逆「円周角が等しいならば円」も成立します。もう少しきちんというと,

円周角の定理の逆

4点 A,B,C,DA,B,C,D について,2点 C,DC,D が直線 ABAB についてついて同じ側にあり,ACB=ADB\angle ACB = \angle ADB であるならば,4点 A,B,C,DA,B,C,D は同一円周上にある。

証明

ABC\triangle ABC の外接円について考える。

  • もし,DD が円の内部にあるなら, 三角形ABCの外接円 図より ADB=AEB+EBDAEB=ACB\angle ADB=\angle AEB+\angle EBD \geq \angle AEB =\angle ACB つまり, ACB<ADB \angle ACB \lt \angle ADB となる。

  • もし,DD が円の外部にあるなら,同様に ACB>ADB \angle ACB \gt \angle ADB となる。

いずれの場合も,ACB=ADB\angle ACB = \angle ADB という仮定に矛盾。よって,DD は円周上にある。つまり4点 A,B,C,DA,B,C,D は同一円周上にある。

円周角の定理を応用したさまざまな定理

円周角の定理は,より難しいいろいろな定理の証明に使われます。例えば,

円周角の定理自体は知っていても,3つに場合分けしてきちんと証明できる人は意外と少ないのではないでしょうか。

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