円の方程式と関連問題｜座標・ベクトル・複素数

座標平面の円の方程式

円の定義

まず円の定義を確認します。円とは，平面上において，ある点からの距離が等しい点の集合です。 「ある点」を中心，中心から円周上の点までの距離を半径と呼びます。

コンパスを考えると分かりやすいです。コンパスの針が中心，針から鉛筆までの距離が半径になります。

円の方程式の求め方

円の定義をもとに円の方程式を考えます。

• 中心が原点の場合の円の方程式

例として，中心が $(0,0)$ で半径が $2$ の円の方程式を考えます。

円周上の点の座標を $(x,y)$ とおくと，$(0,0)$ からの距離が $2$ なので，二点間の距離の公式から $x,y$ に対して以下が成り立ちます(必要条件)。

$$( x - 0 )^2 + ( y - 0 ) ^2 = 2^{2}$$

（なお，この式の導出については，詳しくは 平面，空間上の2点間の距離について をご覧ください。）

逆にこの方程式をみたしている $(x,y)$ は全て $(0,0)$ からの距離が $2$ の点です(十分条件）。

よって，中心が $(0,0)$ で半径が $2$ の円を表す方程式は $x^2+y^2=4$ となります。

• 中心が原点でない場合の円の方程式

次に中心が $(2,3)$ で半径が $4$ の円の方程式を考えましょう。前項と同様に考えて，

$$( x - 2 )^2 + ( y - 3 )^2 = 16$$ となります。より一般に，以下のことが言えます。

円の方程式（一般形）の中心と半径

円の方程式の「中心と半径による形」を説明しました。これをもとに，今度は「一般形」で表された円の方程式について考えます。例として， $$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$$ という方程式で表される図形について考えてみます。 $$x^2+2x=(x+1)^2-1$$ $$y^2-4y=(y-2)^2-4$$ に注意して左辺を変形（平方完成）すると，上の方程式は $$(x+1)^2+(y-2)^2-11-1-4 = 0$$ $$(x+1)^2+(y-2)^2 = 4^2$$ となります。さきほどの「中心と半径による形」を思い出すと，中心が $(-1,2)$ で半径が $4$ の円を表すことがわかります。

より一般に， $$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$ という式は， $$\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2=\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}$$ と変形できるので，$l^2+m^2-4n>0$ のとき円を表すことがわかります。

ベクトル方程式で円を表す

円の中心をベクトルの始点，円周上の点を終点とみることで，円をベクトル方程式で表せます。

また，直径の両端が分かるときもベクトル方程式で表せます。→ベクトル方程式の公式一覧

複素数平面上の円の方程式

複素数平面上の円の方程式は，複素数の絶対値が原点との距離を表していることを利用して導出します。→複素数の絶対値の定義といろいろな性質

中心が $3 - 2i$ で半径が $3$ の方程式を求めてみましょう。

円周上の点を $z$ とおくと，$z$ と $3 - 2i$ の距離が $3$ なので，$\left| z - ( 3 - 2i ) \right| = 3$ と表せます。

より一般に，以下が成立します。

また，この式を変形すると，

$$\begin{aligned} &| z - \alpha | ^2 = r^{2} \\ &( z - \alpha ) \ \overline{( z - \alpha )} = r^2 \\ &| z | ^2 - z \bar{\alpha} - \bar{z} \alpha + | \alpha | ^2 = r^2 \end{aligned}$$

となります。この形をみたときには円の方程式を思い出しましょう。

円の方程式に関する問題

2円の位置関係

半径が $a,b$ の2円 $A,B$ の中心間の距離を $d$ とおくと，以下のようにまとめられます。

• $| a - b | > d$ のとき，2円は包含関係にある。(図1)
• $| a - b | = d$ のとき，2円は内接する。(図2)
• $| a - b | < d <| a + b |$ のとき，2円は交わる。(図3)
• $| a + b | = d$ のとき，2円は外接する。(図4)
• $| a + b | < d$ のとき，2円は離れている。(図5)

$$\begin{aligned} (1) &\Leftrightarrow ( x - 2 )^2 + ( y - 3 )^2 = 4 \\ (2) &\Leftrightarrow ( x + 2 )^2 + y^2 = 9 \end{aligned}$$

より，$(1)$ は中心が $(2,3)$ で半径が $2$ の円の方程式，$(2)$ は 中心が $(-2 , 0)$ で半径が $3$ の円の方程式と分かります。

それぞれの中心間の距離は $\sqrt{ \{ 2 -(-2) \} ^2 + ( 3 - 0 ) ^2 }= 5$ で，半径の和が $5$ なので，2円は外接することが分かります。

直径の両端がわかっている場合の方程式

円の中心と半径を求めれば円の方程式が計算できます。

• 円の中心は2点の中点なので $(3,2)$
• 半径は2点間の距離公式より $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

より，円の方程式は $$(x-3)^2+(y-2)^2=2$$ となります。

また，さきほど紹介したベクトル方程式をもとに考えることもできます。

円周上の点 $P$ の座標を $(x,y)$ として，

$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$$

が成立するので，これを成分表示して

$$( x - 2 ) \cdot ( x - 4 ) + ( y - 3 ) \cdot ( y - 1 ) = 0$$ となり，整理すると $$( x - 3 )^2 + ( y - 2 )^2 = 2$$

と求められます。

複素平面上で考えることによっても，同様の方程式を導くことができます。

複素平面上で考えると、点 $(2,3)$，$(4,1)$ はそれぞれ点 $2+3i$，$4+i$ に移ります。

$z_1=2+3i$，$z_2=4+i$ とおき，求める円上の点を $z=x+yi$ とおく。円周角の定理より

$$\angle{APB} = \dfrac{\pi}{2}$$

これより

$$\mathrm{arg} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}}=\dfrac{\pi}{2}$$

これは

$$\mathrm{Re} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}} =0$$

を示しています。代入して

$$\dfrac{z-z_1}{z-z_2}=\dfrac{(x-2)+(y-3)i}{(x-4)+(y-1)i} \\ =\dfrac{((x-2)+(y-3)i)((x-4)-(y-1)i)}{(x-4)^2+(y-1)^{2}} \\$$

これより

$$\mathrm{Re} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}} =\dfrac{(x-2)(x-4)+(y-3)(y-1)}{(x-4)^2+(y-1)^{2}}=0$$

$$\therefore (x-2)(x-4)+(y-3)(y-1)=0$$

これを整理することで同じ結果を得ます。

円の接線の方程式

円の接線の方程式は，接点の座標がわかるとき，公式で求められます。→円の接線の方程式の公式

円の方程式は $$( x - 3 )^2 + ( y - 1 )^2 = 25$$ なので，$(6,5)$ における接線の方程式は

$$( 6 - 3 )\cdot( x - 3 ) + ( 5 - 1 )\cdot( y - 1 ) = 25$$ $$3x + 4y = 38$$

【発展】円の方程式と陰関数・陽関数

円の方程式は，上で見たように，一般的に

$$( x - a )^2 + ( y - b )^2 = r^2$$

あるいは

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

のように表されることがわかりました。円の方程式は，このように

$$F(x,y)=0$$

のかたちで表される陰関数となっています。

一方，円は1つの $x$ に対応する $y$ が2つ，1つの $y$ に対応する $x$ が2つあるので，円の方程式を1つの陽関数で表すことはできません。例えば陰関数 $( x - a )^2 + ( y - b )^2 = r^2$ を陽関数で表すと

$$y= b+ \pm \sqrt{r^2-(x-a)^2}$$

のようになります。

陰関数・陽関数については，詳しくは 陰関数と陽関数の意味と違いについて を参照してください。

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