円の方程式と関連問題｜座標・ベクトル・複素数

座標平面の円の方程式

中心と半径による形

円の方程式1(中心と半径による形)

中心が $(a,b)$ で半径が $r$ の円の方程式は，

$( x - a )^2 + ( y - b )^2 = r^2$

例

例1：中心が $(0,0)$ で半径が $2$ の円の方程式を考えます。 $a=0,b=0,r=2$ とすると，円の方程式は $x^2+y^2=4$ となります。
例2：中心が $(2,3)$ で半径が $4$ の円の方程式を考えます。 $a=2,b=3,r=4$ とすると，円の方程式は $(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$ となります。

円の方程式1の証明

円周上の点の座標を $(x,y)$ とおくと， $(a,b)$ からの距離が $r$ なので，二点間の距離の公式（三平方の定理）から $x,y$ に対して以下が成り立ちます(必要条件)。

$( x - a )^2 + ( y - b ) ^2 = r^{2}$

（なお，この式の導出については，詳しくは平面，空間上の2点間の距離についてをご覧ください。）

逆にこの方程式を満たす $(x,y)$ は全て $(a,b)$ からの距離が $r$ の点です(十分条件）。

よって，中心が $(a,b)$ で半径が $r$ の円を表す方程式は $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ となります。

円の方程式（一般形）の中心と半径

円の方程式の「中心と半径による形」を説明しました。これをもとに，今度は「一般形」で表された円の方程式について考えます。

円の方程式2

$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ という式は， $l^2+m^2-4n>0$ のとき円を表す。円の中心と半径は平方完成で求めることができる。

例として， $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$ という方程式で表される図形について考えてみます。 $x^2+2x=(x+1)^2-1$ $y^2-4y=(y-2)^2-4$ に注意して左辺を変形（平方完成）すると，上の方程式は $(x+1)^2+(y-2)^2-11-1-4 = 0$ $(x+1)^2+(y-2)^2 = 4^2$ となります。さきほどの「中心と半径による形」を思い出すと，中心が $(-1,2)$ で半径が $4$ の円を表すことがわかります。

より一般に， $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ という式は， $\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2=\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}$ と変形できるので， $l^2+m^2-4n>0$ のとき円を表すことがわかります。

ベクトル方程式で円を表す

円の中心をベクトルの始点，円周上の点を終点とみることで，円をベクトル方程式で表せます。

中心 $A$ (位置ベクトル $\vec{a}$ )，半径 $r$ の円のベクトル方程式： $| \overrightarrow{AP} | = r \\ | \vec{p} - \vec{a} | = r$

また，直径の両端が分かるときもベクトル方程式で表せます。→ベクトル方程式の公式一覧

直径の両端が $A(\vec{a}),B(\vec{b})$ の円のベクトル方程式： $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \\ ( \vec{p} - \vec{a} ) \cdot ( \vec{p} - \vec{b} ) = 0$

複素数平面上の円の方程式

複素数平面上の円の方程式は，複素数の絶対値が原点との距離を表すことを利用して導出します。→複素数の絶対値の定義といろいろな性質
中心が 3−2i3 - 2i3−2i で半径が 333 の方程式を求めてみましょう。
円周上の点を zzz とおくと，zzz と 3−2i3 - 2i3−2i の距離が 333 なので，∣z−(3−2i)∣=3\left| z - ( 3 - 2i ) \right| = 3∣z−(3−2i)∣=3 と表せます。
より一般に，以下が成立します。
複素数平面上で，中心 α\alphaα 半径 rrr の円の方程式：
∣z−α∣=r
| z- \alpha | = r
∣z−α∣=r
また，この式を変形すると，
∣z−α∣2=r2(z−α) (z−α)‾=r2∣z∣2−zαˉ−zˉα+∣α∣2=r2\begin{aligned}
&| z - \alpha | ^2 = r^{2} \\
&( z - \alpha ) \  \overline{( z - \alpha )} = r^2 \\
&| z | ^2 - z \bar{\alpha} - \bar{z} \alpha + | \alpha | ^2 = r^2
\end{aligned}​∣z−α∣2=r2(z−α) (z−α)​=r2∣z∣2−zαˉ−zˉα+∣α∣2=r2​
となります。この形をみたときには円の方程式を思い出しましょう。

円の方程式に関する問題

直径の両端がわかっている場合の方程式

例題

2点 $(2,3),\:(4,1)$ が直径の両端である円の方程式を求めなさい。

直径から円の公式を導出

解答1

円の中心と半径を求めれば円の方程式が計算できる。

円の中心は2点の中点なので $(3,2)$
半径は2点間の距離公式より $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

よって，円の方程式は $(x-3)^2+(y-2)^2=2$

ベクトル方程式をもとに考えることもできます。

解答2

円周上の点 $P$ の座標を $(x,y)$ として，

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$

が成立するので，これを成分表示して

$( x - 2 ) \cdot ( x - 4 ) + ( y - 3 ) \cdot ( y - 1 ) = 0$ となり，整理すると $( x - 3 )^2 + ( y - 2 )^2 = 2$

複素平面上で考えることもできます。

解答3

複素平面上で考えると，点 $(2,3)$ ， $(4,1)$ はそれぞれ点 $2+3i$ ， $4+i$ である。

$z_1=2+3i$ ， $z_2=4+i$ とおき，求める円上の点を $z=x+yi$ とおく。円周角の定理より

$\angle{APB} = \dfrac{\pi}{2}$

これより

$\mathrm{arg} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}}=\dfrac{\pi}{2}$

これは

$\mathrm{Re} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}} =0$

を表す。代入して

$\dfrac{z-z_1}{z-z_2}=\dfrac{(x-2)+(y-3)i}{(x-4)+(y-1)i} \\ =\dfrac{((x-2)+(y-3)i)((x-4)-(y-1)i)}{(x-4)^2+(y-1)^{2}} \\$

これより

$\mathrm{Re} {\dfrac{z-z_1}{z-z_2}} =\dfrac{(x-2)(x-4)+(y-3)(y-1)}{(x-4)^2+(y-1)^{2}}=0$

$\therefore (x-2)(x-4)+(y-3)(y-1)=0$

これを整理すると同じ結果を得る。

2円の位置関係

半径が $a,b$ の2円 $A,B$ の中心間の距離を $d$ とおくと，以下のようにまとめられます。

$| a - b | > d$ のとき，2円は包含関係にある。(図1)
$| a - b | = d$ のとき，2円は内接する。(図2)
$| a - b | < d <| a + b |$ のとき，2円は交わる。(図3)
$| a + b | = d$ のとき，2円は外接する。(図4)
$| a + b | < d$ のとき，2円は離れている。(図5)

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例題

以下の方程式で表される2つの円の位置関係を答えなさい。 $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 \tag{1}$

$x^2 + y^2 + 4x - 5 = 0 \tag{2}$

$\begin{aligned} (1) &\Leftrightarrow ( x - 2 )^2 + ( y - 3 )^2 = 4 \\ (2) &\Leftrightarrow ( x + 2 )^2 + y^2 = 9 \end{aligned}$

より， $(1)$ は中心が $(2,3)$ で半径が $2$ の円の方程式， $(2)$ は中心が $(-2 , 0)$ で半径が $3$ の円の方程式と分かります。

それぞれの中心間の距離は $\sqrt{ \{ 2 -(-2) \} ^2 + ( 3 - 0 ) ^2 }= 5$ で，半径の和が $5$ なので，2円は外接することが分かります。

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円の接線の方程式

例題

中心 $(3,1)$ 半径 $5$ の円の $(6,5)$ における接線の方程式を求めなさい。

円の接線の方程式は，接点の座標がわかるとき，公式で求められます。→円の接線の方程式の公式

円の方程式は $( x - 3 )^2 + ( y - 1 )^2 = 25$ なので， $(6,5)$ における接線の方程式は

$( 6 - 3 )\cdot( x - 3 ) + ( 5 - 1 )\cdot( y - 1 ) = 25$ $3x + 4y = 38$

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【発展】円の方程式と陰関数・陽関数

円の方程式は，上で見たように，一般的に
(x−a)2+(y−b)2=r2( x - a )^2 + ( y - b )^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
あるいは
x2+y2+lx+my+n=0x^2 + y^2 + lx + my + n = 0x2+y2+lx+my+n=0
のように表されることがわかりました。円の方程式は，このように
F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0
のかたちで表される陰関数となっています。
一方，円は1つの xxx に対応する yyy が2つ，1つの yyy に対応する xxx が2つあるので，円の方程式を1つの陽関数で表すことはできません。例えば陰関数 (x−a)2+(y−b)2=r2( x - a )^2 + ( y - b )^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2 を陽関数で表すと
y=b+±r2−(x−a)2y= b+ \pm \sqrt{r^2-(x-a)^2}y=b+±r2−(x−a)2​
のようになります。
陰関数・陽関数については，詳しくは 陰関数と陽関数の意味と違いについて を参照してください。
円の方程式の左辺は xxx と yyy の二次式です。円は「二次曲線」と呼ばれる曲線の一種です。
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