平面，空間上の2点間の距離について

平面・空間内の2点間の距離を求める公式です。入試問題などでも頻繁に使う公式ですので，暗記しましょう。

考えている座標の $x$ 座標，$y$ 座標，($z$ 座標)　ごとに引き算をする点に注意してください。

原点との距離の求め方

特に，原点との距離は公式として覚えておくと便利です。上式から導出できます。

となります。

いくつかの具体例で，公式の使用例を確認してみましょう。

三平方の定理をうまい三角形に使うことで線分の長さを計算します。→三平方の定理

証明からわかるように，平面の場合は実質的に三平方の定理そのものです。

ここから発展的な話題です。

我々が普段考える「距離」の概念からすると，

2点 $A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y)$ の間の距離 $d$ は式 $d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$ で表される

という主張は，まず「距離」というものの定義があって，それに基づいて証明されるべき公式（定理）です。実際にこの記事では三平方の定理を使った証明を紹介しました。現実世界で計算する分にはこれでほとんど問題ありません。

しかし数学的に厳密な「距離」や「線分の長さ」の定義とはなんでしょうか？よく考えてみるとなかなか難しい問題です（「極限」を考えるときにも似たような問題が現れていました。→はさみうちの原理の証明，イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法）

この問題は，発想を逆転させてこの式そのものを距離の定義として採用することによって解決します。つまり，2点 $A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y)$ の間の距離とは，$\sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$ のことであるとしてしまうのです。この立場からみると，2点間の距離の公式はもはや定理ではなく距離の定義そのものになります。→ルール（定義）と事実（定理）を区別する

$A = (a_x, a_y)$ と $B = (b_x, b_y)$ の間の距離とは$\sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$ のことである，という立場に立つと「他の形の式を距離の定義とすることはできるのか？」という自然な疑問が湧いてきます。実は他にもいろいろな距離の定め方があります。

• $L^1$ 距離は，$A = (a_x, a_y)$ と $B = (b_x, b_y)$ の間の距離を $d(A,B)=|a_1 − b_1| + |a_2 − b_2|$ で測るような距離です。

• $L^{\infty}$ 距離は，$A = (a_x, a_y)$ と $B = (b_x, b_y)$ の間の距離を $d(A,B)=\max \{|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|\}$ で測るような距離です。

詳しくは→L1距離（マンハッタン距離）の意味と性質，ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルムを参照してください。

平面や空間の点に限らないものとしては，例えば

• 関数や数列の間の距離を測る$L^p$ 距離
• 文字列の間の距離を測るハミング距離，レーベンシュタイン距離

などがあります。

さらに詳しく知りたい方は，距離空間というキーワードで調べてみてください。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧