直角三角形の定義とさまざまな公式

$a,b,c$ は直角三角形の3辺の長さで，$c$ が斜辺です。

詳細は→三平方の定理の４通りの美しい証明

補足：ピタゴラス数（整数の話題）

一般に，三つの自然数の組 $(a,b,c)$ が三平方の定理の式 $a^2+b^2=c^2$ を満たすとき，$(a,b,c)$ をピタゴラス数と呼びます。

有名なピタゴラス数として，$(3,4,5)$ や $(5,12,13)$ があります。実際 $3^2+4^2=5^2$ などが成立します。

また，ピタゴラス数は「とある公式」を用いることで「すべて」作り出せます。ピタゴラス数の性質についてはこちらの記事で詳しく扱っています。→ピタゴラス数の求め方とその証明

直角三角形の中でも，特に有名で大事なものを紹介します。

ピタゴラス数と関係する直角三角形

• 三辺の長さが $(3,4,5)$ の直角三角形
• 三辺の長さが $(5,12,13)$ の直角三角形

これらは，3辺の長さがすべて整数（ピタゴラス数）であるため，有名です。

角度の大きさがきれいな直角三角形

角度が特徴的であるために有名な三角形もあります。

• 三つの角が $(30^{\circ},60^{\circ},90^{\circ})$である直角三角形。
  三辺の比が $(\text{短辺},\text{斜辺},\text{長辺})=$ $(1:2:\sqrt{3})$ となります。正三角形を半分に切った直角三角形です。

• 三つの角が $(45^{\circ},45^{\circ},90^{\circ})$である直角三角形。 直角二等辺三角形です。三辺の比が $(\text{短辺},\text{長辺},\text{斜辺})=$$(1:1:\sqrt{2})$ となります( $長辺=短辺$ です)。

円周角の定理を用いて簡単に証明できます。

この性質はタレスの定理とも呼ばれます。「円の直径→直角三角形が潜んでいるかも」と意識しておきましょう。

直角三角形は，1つの角度が $90^{\circ}$ であるため，特有の合同条件を持ちます。

直角三角形は，三角関数 $\sin,\cos,\tan$ の定義に使われることがあります。

詳細は→三角関数の３通りの定義とメリットデメリット