三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式

三角形 $OAB$ において，$\angle AOB = \theta$ とすると，三角形 $OAB$ の面積 $S$ は， $$S = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{\vphantom{b}a}\|\|\overrightarrow{b}\|\sin\theta$$ で表されます。この公式については以下の記事で解説しています。→sinを用いた三角形の面積公式

冒頭の公式 $(1)$ $(2)$ の証明には，この公式を使います。

では早速式 $(1)$ から証明してみます。

やや複雑な形をしていますが，使える機会が多いので正確に覚えておきましょう。

式 $(2)$ は，サラスの公式でも登場する有名な式です。

上記の記事には式 $(1)$ を利用した証明が書かれています。ここでは別の証明方法を紹介します。

証明では点と直線の距離の公式を利用しました（→点と直線の距離公式：例題と5通りの証明）。

公式を利用できる簡単な問題を解いてみます。

公式 $(1)$ を利用するだけです。求めたい三角形の面積を $S$ とすると， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\sqrt{4^2 \cdot 3^2 - 8^2}\\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{144-64}\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5}\\ &= 2\sqrt{5} \end{aligned}$$ と求めることができます。

点が座標で表されているので，公式 $(2)$ を利用するのが良さそうです。求めたい三角形の面積を $S$ とすると， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}|2\cdot 4 - (-1)\cdot 5|\\ &= \dfrac{1}{2}|8 + 5|\\ &= \dfrac{13}{2} \end{aligned}$$ と求めることができます。

この問題には2通りのやり方を紹介します。

まず，公式 $(1)$ を利用する方法です。 $$\overrightarrow{AB} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -7 \end{array} \right), ~\overrightarrow{AC} = \left( \begin{array}{c} -3\\ -4 \end{array}\right)$$ ですから，これを使って計算します。 $$\begin{aligned} \|\overrightarrow{AB}\|^2 &= 2^2 + (-7)^2 = 53\\ \|\overrightarrow{AC}\|^2 &= (-3)^2 + (-4)^2 = 25\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -6 + 28 = 22 \end{aligned}$$ により， 求めたい三角形の面積を $S$ とすると， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\sqrt{53 \cdot 25 - 22^2}\\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{1325-484}\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{841}\\ &= \dfrac{29}{2} \end{aligned}$$ と求めることができます。

次に，公式 $(2)$ を利用するやり方です。原点に一致する点がないので，公式を利用することができないと思うかもしれません。

しかし，三点を同じ方向同じ距離だけ平行移動しても三角形の面積は変わりません。 そこで，どれか一点が原点に重なるように平行移動することを考えましょう。

今回は $C$ を $(0,0)$ に一致させる，つまり $x$ 方向に $+1$ 平行移動することを考えます。

このとき $A$ は $A'(3,4)$，$B$ は $B'(5,-3)$ に移動します。求めたい三角形の面積は，三角形 $OA'B'$ に一致するので， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}|3\cdot(-3) - 5\cdot 4|\\ &= \dfrac{29}{2} \end{aligned}$$ と求めることができます。

合同な三角形を二つ繋げると平行四辺形になるので，上記の公式から $\dfrac{1}{2}$ を取った式で平行四辺形の面積を求めることができます。

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\vphantom{b}a} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}, ~ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}$ としたとき，平行四辺形 $OACB$ の面積 $S'$ は以下のように表せます。

$$S' = \sqrt{\|\overrightarrow{\vphantom{b}a}\|^2\|\overrightarrow{b}\|^2 - \left(\overrightarrow{\vphantom{b}a} \cdot \overrightarrow{b}\right)^2} \tag{3}$$ $$S' = | a_1b_2 - a_2b_1| \tag{4}$$

これも知っていると計算が楽になることが多いので，合わせて覚えておきましょう。

3次元の場合にも，空間ベクトルを用いて三角形 $OAB$ の面積を求めることができます。

1つめの証明は2次元の場合と同じです。さらに，1つめに空間ベクトルを成分表示して代入すると，2つめが導出できます。

この公式は外積という概念と繋がっています。詳しくは ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ をチェックしてみてください。