ルモアーヌ点（類似重心）とその性質

$|ALB|:|ALC|=c^2:b^2$ を示す。 $BC$ の中点を $M$，$\angle BAM=\angle CAL=\theta$ とおく。

$|ALB|:|ALC|\\ =c\sin(A-\theta):b\sin\theta\\ =c\sin A\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}-c\cos A:b$

ここで，三角形 $AMB$ に余弦定理および正弦定理を用いると，

$\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{c^2+AM^2-\frac{a^2}{4}}{2c AM}\div\dfrac{a\sin B}{2AM}\\ =\dfrac{c^2+AM^2-\frac{a^2}{4}}{ac\sin B}$

これを上式に代入して整理すると，

$|ALB|:|ALC|=\dfrac{c^2}{b}:b$ を得る。

ただし，途中で $AM^2=\dfrac{-a^2+2b^2+2c^2}{4}$ （中線定理を使えば簡単に導出できる→三角形の五心と頂点までの距離），$\dfrac{\sin B}{\sin A}=\dfrac{b}{a}$，$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ を用いる。

$ABC$ を3つに分割して考えることにより，

$2|ABC|=ad_A+bd_B+cd_C$ である。よって，シュワルツの不等式より，

$(d_A^2+d_B^2+d_C^2)(a^2+b^2+c^2)\geq 4|ABC|^2$

よって（シュワルツの等号成立条件から），$d_A:d_B:d_C=a:b:c$ のときに $d_A^2+d_B^2+d_C^2$ は最小となる。実際，ルモアーヌ点は（性質1より）この条件を満たしている！