複素数平面の基本的な公式集

• この公式を使えば $\overline{z}$ はいつでも $z$ になおせます。ただし，$\overline{z}$ のまま計算した方がよい場合もあるのである程度慣れが必要です。

• 複素数平面で図形問題を扱うときは円の中心を原点にする場合が多いです。そして，多くの問題では相似変換に関して不変な性質を証明したいので外接円の半径を $1$ としてもOKです。そのため $|z|=1$ という状況が頻出です。

共役複素数の覚えておくべき性質でも紹介した重要な公式です。引き算とわり算に対しても同様です。共役をとる操作と四則演算は順番が交換できる！

これは公式1からすぐに導けます。この公式を覚えるというよりも 「複素数平面では $\alpha-\beta$ で割り切れる式がたくさん出現する」という事実を覚えておきましょう。

非常に単純な事実ですが，複素数平面で計算するときには超頻出の公式です。

複素数の比が実数⇔偏角の差が $0$ または $\pi$

であることに注意すると平行条件が得られます。

これを公式5，2，3と組み合わせると，平行条件は，

$\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}=\dfrac{\overline{\alpha}-\overline{\beta}}{\overline{\gamma}-\overline{\delta}}$ となります。

複素数の比が純虚数⇔偏角の差が $\dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{3}{2}\pi$

であることに注意すると垂直条件が得られます。

これを公式6，2，3と組み合わせると，垂直条件は，

$\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}=-\dfrac{\overline{\alpha}-\overline{\beta}}{\overline{\gamma}-\overline{\delta}}$ となります。

上記公式たちの応用例としてよく使う準公式を証明しておきます。