国際数学オリンピックの超難問３選

$2$ 以上の整数 $n$ で $\dfrac{2^n+1}{n^2}$ が整数となるようなものを全て求めよ。

凸六角形 $ABCDEF$ において，$AB//DE$，$BC//EF$，$CD//FA$ とする。また，三角形 $FAB$，$BCD$，$DEF$ の外接円の半径を $R_A,\:R_C,\:R_E$ とおく。また，六角形の周の長さを $P$ とおく。

このとき $R_A+R_C+R_E\geq \dfrac{P}{2}$ を証明せよ。

$a_1,\:a_2,\cdots ,a_n$ を相異なる正の整数とし，$M$ を $n-1$ 個の正の整数からなる集合とする。また，$M$ は $s=a_1+a_2+\cdots +a_n$ を含まない。数直線の $0$ の地点にいるバッタが数直線の正の向きに $n$ 回ジャンプする。 $n$ 回のジャンプの距離は $a_1,\:a_2,\cdots ,a_n$ の並び替えである。このとき並び替えをうまく選べばバッタが $M$ の要素に対応する $n-1$ 点に一度も着地しないようにできることを証明せよ。