複素数平面において正三角形となる条件

$ABC$ が正三角形となるとき，以下の2パターンが考えられる。

1. 三点 $ABC$ が反時計回りに並んでいるとき，
   $\overrightarrow{AB}$ を $A$ を中心に $60^{\circ}$ 回転させたものが $AC$ となるので， $$\gamma-\alpha=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)(\beta-\alpha)$$

2. 三点 $ABC$ が時計回りに並んでいるとき，
   $\overrightarrow{AB}$ を $A$ を中心に $-60^{\circ}$ 回転させたものが $AC$ となるので， $$\gamma-\alpha= \left( \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2} \right) (\beta-\alpha)$$

いずれの場合も $\pm \sqrt{3}i$ 以外を左辺に移項して両辺二乗すると，

$$\left(\dfrac{2(\gamma-\alpha)}{\beta-\alpha}-1\right)^2=-3\:\:\cdots (※)$$

逆に $(※)$ が成立するとき上記の2パターンの式のいずれかが成立するので $ABC$ は正三角形となる。

よって，$(※)$ が複素数平面において三点が正三角形となる必要十分条件である。これを展開して整理すると，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ となる。

$\overrightarrow{AB}$ から見た $\overrightarrow{BC}$ の回転角と拡大率を $Z_1$ とおく：

$\gamma-\beta=Z_1(\beta-\alpha)$

$\overrightarrow{BC}$ から見た $\overrightarrow{CA}$ の回転角と拡大率を $Z_2$ とおく：

$\alpha-\gamma=Z_2(\gamma-\beta)$

正三角形となる必要十分条件は $Z_1=Z_2$ なので（注）

求める条件は，

$$\dfrac{\gamma-\beta}{\beta-\alpha}=\dfrac{\alpha-\gamma}{\gamma-\beta}$$

これを整理すると $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ となる。

$$\begin{aligned} &x^4+y^4+z^4\\ &=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\\ &=(x^2+y^2+z^2)^2-2\{(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)\} \end{aligned}$$

に注意する。$x=\alpha-\beta,y=\beta-\gamma,z=\gamma-\alpha$ とおくと，$x+y+z=0$ かつ

$$\begin{aligned} &xy+yz+zx\\ &=-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)\\ &=-\dfrac{1}{2}\{(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2\}\\ &=-\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2} \end{aligned}$$

以上より

$$x^4+y^4+z^4=\dfrac{1}{2} (x^2+y^2+z^2)^2$$

となり1と4は同値。