複素数平面において正三角形となる条件

$ABC$ が正三角形となるとき，以下の2パターンが考えられる。

1：三点 $ABC$ が反時計回りに並んでいるとき，

$\overrightarrow{AB}$ を $A$ を中心に $60^{\circ}$ 回転させたものが $AC$ となるので，

$\gamma-\alpha=(\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2})(\beta-\alpha)$

2：三点 $ABC$ が時計回りに並んでいるとき，

$\overrightarrow{AB}$ を $A$ を中心に $-60^{\circ}$ 回転させたものが $AC$ となるので，

$\gamma-\alpha=(\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2})(\beta-\alpha)$

いずれの場合も $\pm \sqrt{3}i$ 以外を左辺に移項して両辺二乗すると，

$(\dfrac{2(\gamma-\alpha)}{\beta-\alpha}-1)^2=-3\:\:\cdots (※)$

逆に $(※)$ が成立するとき上記の2パターンの式のいずれかが成立するので $ABC$ は正三角形となる。

よって，$(※)$ が複素数平面において三点が正三角形となる必要十分条件である。これを展開して整理すると，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ となる。

$\overrightarrow{AB}$ から見た $\overrightarrow{BC}$ の回転角と拡大率を $Z_1$ とおく：

$\gamma-\beta=Z_1(\beta-\alpha)$

$\overrightarrow{BC}$ から見た $\overrightarrow{CA}$ の回転角と拡大率を $Z_2$ とおく：

$\alpha-\gamma=Z_2(\gamma-\beta)$

正三角形となる必要十分条件は $Z_1=Z_2$ なので（注）

求める条件は，

$\dfrac{\gamma-\beta}{\beta-\alpha}=\dfrac{\alpha-\gamma}{\gamma-\beta}$

これを整理すると $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ となる。