直辺四面体（垂心四面体）と24点球の定理

$AB\perp CD$ ならば，

$(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})=0$

つまり

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

同様に，$AC\perp BD$ ならば

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

この2式の右辺は等しいので左辺も等しい：

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}$

よって

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$

$AD\perp BC$

こちらは計算するだけなので簡単。垂心 $H(\overrightarrow{h})$ があれば，

$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ より

$(\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0$

$\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ より

$(\overrightarrow{h}-\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0$

以上2式より

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0$

つまり $AD \perp BC$

天下り的だが，

$\overrightarrow{h}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$

とおく。ただし，各ベクトルの始点を四面体の外心 $O$ とする。

$AH\cdot BC\\ =(\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\ =\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\ =\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})$

（最後の等号は $|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$ であることから）

よって $AD\perp BC$ なら $AH\perp BC$

同様に　$AH\perp BD$ もわかり，$AH$ は $BCD$ と直交する。残りの3本 $BH,CH,DH$ も対称性より同様。

$S=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+|\overrightarrow{d}|^2$ とおくと，

$AB^2+CD^2\\ =|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2\\ =S-2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d})$

$AC^2+BD^2\\ =S-2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d})$

$AD^2+BC^2\\ =S-2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})$

より条件4とさきほどの紫字の条件は同値。

$AB$ と $CD$ の中点を $M,N$ とおくと，

$MN^2\\ =\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|^2\\ =\dfrac{1}{4}\{S-2T+4(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d})\}$

ただし，

$S=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+|\overrightarrow{d}|^2$

$T=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}$

とおいた。対辺の中点同士を結ぶ3本の線分の長さが等しい

直辺四面体 $ABCD$ の外心を $O$，垂心を $H$，$OH$ の中点を $N$ とおく。三角形 $BCD$ の外心を $O_A$，垂心を $H_A$，九点円 $\Gamma_A$ の中心を $N_A$ とおく。$\Gamma_B,N_B$ なども同様に定める。

$NN_A$ が $BCD$ と直交すること(★)を示せば良い。

• もし(★)が示せれば：
  $N$ を中心とし $\Gamma_A$ を通る球面 $S$ を考える。 (★)と同様に $NN_B$ は $ACD$ と直交するので $S$ は $\Gamma_B$ も通る（$\Gamma_A$ も $\Gamma_B$ も $CD$ の中点を通ることに注意）。同様に $S$ は $\Gamma_C,\Gamma_D$ も通る。

• (★)は以下のようにわかる：
  まず定義より $O,N,H$ は同一直線上にあり，三角形 $BCD$ のオイラー線から $O_A,N_A,H_A$ も別の同一直線上にある。この2本の直線は同一平面上にある（なぜなら $OO_A$ と $HH_A$ が平行だから）。一方，$N$ は $OH$ の中点で $N_A$ は $O_AH_A$ の中点。以上より $NN_A$ は $OO_A$ と平行。