正四面体の中心角の2通りの求め方

更新日時 2021/03/07

正四面体 ABCDABCD の中心を GG とする。このとき，正四面体の中心角 θ=∠AGB\theta=\angle AGB は，

cos⁡θ=−13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} を満たす。

具体的には，θ≒109.5∘\theta\fallingdotseq 109.5^{\circ}

目次

  • 正四面体の中心角とは

  • 重心の性質を用いた証明

  • 立方体を用いた証明（きれい！）

  • マラルディの角度

正四面体の中心角とは

正四面体では，

  • 外心（外接球の中心）
  • 内心（内接球の中心）
  • 重心（位置ベクトルの平均）
  • 垂心（頂点から対面に降ろした垂線の交点）

は全て一致します。この点を「中心」と呼ぶことにします。

この記事では，∠AGB\angle AGB のことを「中心角」と呼びます。

以下では，cos⁡∠AGB=−13\cos\angle AGB=-\dfrac{1}{3} であることを2通りの方法で証明します。

重心の性質を用いた証明

1辺が 11 の正四面体について考えます。

1辺が 11 の正三角形の面積が 34\dfrac{\sqrt{3}}{4}

1辺が 11 の正四面体の体積が 212\dfrac{\sqrt{2}}{12}

であることを使います。→正三角形の面積，正四面体の体積

証明

AA から三角形 BCDBCD に下ろした垂線の足を HH とする。

このとき，

34×AH×13=212\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times AH\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{12} より，

AH=23=63AH=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}

また，四面体の重心の性質より，AG:GH=3:1AG:GH=3:1 であるので，

AG=34AH=64AG=\dfrac{3}{4}AH=\dfrac{\sqrt{6}}{4}

対称性より，BG=64BG=\dfrac{\sqrt{6}}{4}

よって，三角形 ABGABG に余弦定理を使うと，

cos⁡θ=AG2+BG2−AB22AG⋅BG=616+616−12⋅616=−13\cos\theta=\dfrac{AG^2+BG^2-AB^2}{2AG\cdot BG}\\ =\dfrac{\frac{6}{16}+\frac{6}{16}-1}{2\cdot\frac{6}{16}}\\ =-\dfrac{1}{3}

※ 余弦定理を使わないもう少し楽な方法もあります。重心の性質から cos⁡∠HGB=13\cos\angle HGB=\dfrac{1}{3} がわかり，これと θ+∠HGB=180∘\theta+\angle HGB=180^{\circ} から cos⁡θ=−13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} がわかります。

立方体を用いた証明（きれい！）

正四面体in立方体

立方体の4つの頂点をうまく選ぶことで，正四面体を構成できます。→正四面体の体積を計算する

これを利用すれば cos⁡θ=−13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} を非常に簡単な計算で示せます。

証明

座標空間上に正四面体 ABCDABCD を以下のように構成する:

A(0,0,0)A(0,0,0)，B(2,2,0)B(2,2,0)，C(2,0,2)C(2,0,2)，D(0,2,2)D(0,2,2)

このとき，正四面体の中心 GG の座標は (1,1,1)(1,1,1) となる。

GAundefined=(−1,−1,−1)\overrightarrow{GA}=(-1,-1,-1)

GBundefined=(1,1,−1)\overrightarrow{GB}=(1,1,-1)

より，

cos⁡θ=GAundefined⋅GBundefined∣GAundefined∣∣GBundefined∣=−1−1+13⋅3=−13\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}||\overrightarrow{GB}|}\\ =\dfrac{-1-1+1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\ =-\dfrac{1}{3}

マラルディの角度

今回求めた 109.5∘109.5^{\circ} に近い角度をマラルディの角度と言います。マラルディの角度は正四面体の中心角だけでなく，他のいろいろなところにも登場します。

例えば，A4用紙の対角線のなす角（のうち鈍角の方）θ\theta は，マラルディの角度と一致します。実際，A4用紙の縦横比が 2:1\sqrt{2}:1 であることから cos⁡θ=−13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} がわかります。

正四面体の「中心角」という言葉の使い方は一般的では無い気がします。

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！