正四面体の中心角の2通りの求め方
正四面体 の中心を とする。このとき,正四面体の中心角 は,
を満たす。
具体的には,
諸注意
重心の性質を用いた証明(ややめんどう)
立方体を用いた証明(きれい!)
諸注意
正四面体では,
・外心(外接球の中心)
・内心(内接球の中心)
・重心(位置ベクトルの平均)
・垂心(頂点から対面に降ろした垂線の交点)
は全て一致します。この点を「中心」と呼ぶことにします。
この記事では, のことを「中心角」と呼んでいますが,この用語の使い方は一般的でない気がします。
以下では, であることを2通りの方法で証明します。
重心の性質を用いた証明(ややめんどう)
1辺が の正四面体について考えます。
1辺が の正三角形の面積が
1辺が の正四面体の体積が
であることを使います。→正三角形の面積,正四面体の体積
立方体を用いた証明(きれい!)
立方体の4つの頂点をうまく選ぶことで,正四面体を構成することができます。→正四面体の体積を計算する
これを利用すれば を非常に簡単な計算で示すことができます。
座標空間上に正四面体 を以下のように構成する:
, , ,
このとき,正四面体の中心 の座標は となる。
より,