正四面体の中心角の2通りの求め方

$A$ から三角形 $BCD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

このとき，

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times AH\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ より，

$AH=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

また，四面体の重心の性質より，$AG:GH=3:1$ であるので，

$AG=\dfrac{3}{4}AH=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

対称性より，$BG=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

よって，三角形 $ABG$ に余弦定理を使うと，

$\cos\theta=\dfrac{AG^2+BG^2-AB^2}{2AG\cdot BG}\\ =\dfrac{\frac{6}{16}+\frac{6}{16}-1}{2\cdot\frac{6}{16}}\\ =-\dfrac{1}{3}$

座標空間上に正四面体 $ABCD$ を以下のように構成する:

$A(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(2,0,2)$，$D(0,2,2)$

このとき，正四面体の中心 $G$ の座標は $(1,1,1)$ となる。

$\overrightarrow{GA}=(-1,-1,-1)$

$\overrightarrow{GB}=(1,1,-1)$

より，

$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}||\overrightarrow{GB}|}\\ =\dfrac{-1-1+1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\ =-\dfrac{1}{3}$