四面体の重心の存在証明と応用例

四面体 $ABCD$ において，各頂点の位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$ などとする。

このとき，$\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}$ で表される点 $G$ が重心であることを証明する。

三角形 $BCD$ の重心を $E$ とし，$E$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{e}=\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{3}$ とする。まず，線分 $AE$ 上に $G$ が存在することを示す。

実際，簡単な計算により，$\overrightarrow{g}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{e}$ が分かるので，$G$ は線分 $AE$ を $3:1$ に内分する。

対称性より，$G$ は他の三本の線分上にもあることが分かる。つまり，四本の線分は1点 $G$ で交わる。

正四面体 $ABCD$ の重心を $G$ とする。対称性より，外接球の中心は $G$ であるので，$AG$ の長さを求めればよい。

ベクトルの始点を $A$ に選ぶと，$\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}$ より，

$|AG|^2=\dfrac{|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|^2}{16}$

ここで，$|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\dfrac{1}{2}$ などを用いて右辺を計算すると，$\dfrac{6}{16}$ となる。

よって，外接球の半径は，$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$