円分多項式とその性質

更新 2021/03/07

$\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}=\cos \dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ （ $n$ 乗して $1$ になる数のうちの一つ）とおく。多項式

$F_n(x)=\displaystyle\prod_{k\in A_n} (x-\zeta_n^k)$

を円分多項式（円周等分多項式）と言う。

ただし， $A_n$ は $1$ 以上 $n$ 以下の整数で， $n$ と互いに素なもの全体の集合です。

具体例

ζ1=1\zeta_1=1ζ1​=1，F1(x)=x−1F_1(x)=x-1F1​(x)=x−1
ζ2=−1\zeta_2=-1ζ2​=−1，F2(x)=x+1F_2(x)=x+1F2​(x)=x+1
ζ3=−1+3i2\zeta_3=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}ζ3​=2−1+3​i​，F3(x)=(x−ζ3)(x−ζ32)=x2+x+1F_3(x)=(x-\zeta_3)(x-\zeta_3^2)=x^2+x+1F3​(x)=(x−ζ3​)(x−ζ32​)=x2+x+1
ζ4=i\zeta_4=iζ4​=i，F4(x)=(x−ζ4)(x−ζ43)=x2+1F_4(x)=(x-\zeta_4)(x-\zeta_4^3)=x^2+1F4​(x)=(x−ζ4​)(x−ζ43​)=x2+1
円分多項式は整数係数多項式であることが証明されています。また，Fn(x)F_n(x)Fn​(x)
 は最高次の係数が
111
 である
ϕ(n)\phi(n)ϕ(n)
 次多項式です（ϕ(n)\phi(n)ϕ(n)
 はオイラーのファイ関数）。

素数に対する円分多項式

素数 $p$ に対する円分多項式は簡単に求まります。

$p$ が素数のとき， $F_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$

確かに $F_2(x)=x+1$ ， $F_3(x)=x^2+x+1$ となっています。

証明

円分多項式の定義より，

$F_p(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{p-1}(x-\zeta_p^k)$

である。これと，

$x^p-1=\displaystyle\prod_{k=1}^{p}(x-\zeta_p^k)$ より，

$F_p(x)=\dfrac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$

ただし，最後の等号は因数分解公式（n乗の差，和）

性質

任意の正の整数 $n$ に対して $x^n-1=\displaystyle\prod_{d\mid n}F_d(x)$

右辺の積は， $d$ が $n$ の約数全体を動くという意味です。例えば， $n=4$ の場合，

$F_1(x)F_2(x)F_4(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)=x^4-1$

という式になります。

証明の概略

左辺は， $\displaystyle\prod_{k=1}^n(x-\zeta_n^k)$ である。

「 $n$ と $k$ の最大公約数が $\dfrac{n}{d}$ 」という条件を満たす $k$ の部分のみの積が $F_d(x)$ であることを示せばよい（略）。

既約性

任意の正の整数 $n$ に対して $F_n(x)$ は既約である。つまり， $P(x)Q(x)=F_n(x)$ となるような整数係数多項式 $P(x)$ ， $Q(x)$ は存在しない。

円分多項式の著しい性質です。一般の場合の証明は少し大変ですが， $n$ が素数の場合は比較的簡単です。

具体的には，アイゼンシュタインの定理と平行移動を用います。アイゼンシュタインの定理の例2で $F_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ が既約であることを証明しています。一般の素数 $p$ に対しても全く同様に証明できます。

$n\leq 104$ において円分多項式の係数は $0,\pm 1$ のいずれかですが， $F_{105}(x)$ の係数には $-2$ が現れるようです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！