n変数の不等式証明のテクニック

$\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i^2=\sum_{i=1}^nz_i^2$ に注意して展開すると示すべき不等式は以下のようになる。

$$\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq\sum_{i=1}^nx_iz_i$$

これは並べ替え不等式そのもの。

$n$ を固定して左辺がどのようなときに最小になるか考える。並べ替え不等式より，$a_k$ が増加数列のときだけを考えればよい。（そうでないときは並べ替えによって値をより小さくできる）よって，左辺が最小になるのは $a_1=1,a_2=2,\cdots,a_n=n$ のときで，そのときの値は右辺と一致する。

$\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i=A_k$ とおくと，$A_k \geq \dfrac{k(k+1)}{2}$ であり，アーベルの総和公式より，

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k^2} &= \dfrac{A_{n}}{n^2}-\sum_{k=1}^{n-1} A_k \left(\dfrac{1}{(k+1)^2}-\dfrac{1}{k^2}\right)\\ &\geq \dfrac{1}{n^2} \dfrac{n(n+1)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k(k+1)}{2}\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\\ &=\dfrac{1}{2} \left( 1+\dfrac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1} \right)\right) =\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k} \end{aligned}$$

である。