交代和にまつわる数オリの問題

$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots -\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}\\ =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{1319}-2(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdots +\dfrac{1}{1318})\\ =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{1319}-(1+\dfrac{1}{2}+\cdots +\dfrac{1}{659})\\ =\dfrac{1}{660}+\dfrac{1}{661}+\cdots +\dfrac{1}{1319}$

$\dfrac{1}{660}+\dfrac{1}{1319}=\dfrac{1979}{660\cdot 1319}\\ \dfrac{1}{661}+\dfrac{1}{1318}=\dfrac{1979}{661\cdot 1318}\\ \vdots\\ \dfrac{1}{989}+\dfrac{1}{990}=\dfrac{1979}{989\cdot 990}$

を全て加え合わせることで，

$\dfrac{p}{q}=1979(\dfrac{1}{660\cdot 1319}+\dfrac{1}{661\cdot 1318}+\cdots+\dfrac{1}{989\cdot 990})$

となる。

右辺のカッコの中身を通分したとき分母は $660$ から $1319$ までかけたものであり，$1979$ とは互いに素である（$1979$ は素数）。

よって，$p\times$ ( $1979$ と互いに素な整数)= $1979$ の倍数

となるので $p$ は $1979$ の倍数である。