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交代式の因数分解と実践的な例題

更新日時 2021/03/07

交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても 1-1 倍になるような式のことです。例えば a2b2a^2-b^2 という式は,aabb を入れ替えると b2a2b^2-a^2 となり,元の式の 1-1 倍になるので交代式です。

交代式の意味と,交代式を活用した因数分解の方法について解説します。

目次
  • 対称式と交代式

  • 2変数の交代式の因数分解

  • 3変数の場合の交代式

  • 定理1の証明

  • 難しい例題

対称式と交代式

対称式交代式はセットで覚えましょう。

対称式とは,どの2つの変数を入れ替えても元の値と変わらない式のことです。例えば a2+b2a^2+b^2 という式は,aabb を入れ替えると b2+a2b^2+a^2 となり,元の式と同じなので対称式です。

交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても 1-1 倍になるような式のことです。例えば a2b2a^2-b^2 という式は,aabb を入れ替えると b2a2b^2-a^2 となり,元の式の 1-1 倍になるので交代式です。このページでは,多項式の交代式について考えます。

2変数の交代式の因数分解

定理1

2変数 a,ba,b の交代式は,(ab)(a-b) を因数に持つ。

例えば,多項式 anbna^n-b^n の因数分解について考えましょう。この式は,aabb を交換すると bnanb^n-a^n となり,元の式の 1-1 倍になるので交代式です。よって,(ab)(a-b) を因数に持ちます。

実際,

a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

などと因数分解できます。 →因数分解公式(n乗の差,和)

3変数の場合の交代式

2変数の場合よりも3変数の因数分解が頻出です。f(a,b,c)f(a,b,c) のどの2変数を入れ替えても値がマイナス1倍になるとき,f(a,b,c)f(a,b,c) を3変数の交代式と言います。

定理2

3変数の交代式 f(a,b,c)f(a,b,c)(ab)(bc)(ca)g(a,b,c)(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c) と因数分解できる。さらに,g(a,b,c)g(a,b,c) は対称式である。

例題

a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

の因数分解を考える。この多項式は,どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。

よって,(ab)(bc)(ca)g(a,b,c)(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c) と因数分解できるが,g(a,b,c)g(a,b,c)00 次の対称式(=定数)であり,a2ba^2b の係数を比較することによって g(a,b,c)=1g(a,b,c)=-1 であることが分かる: a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=(ab)(bc)(ca)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\ =-(a-b)(b-c)(c-a)

次は4次式の例です。

例題

a3(cb)+b3(ac)+c3(ba)a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)

の因数分解を考える。この多項式は,どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。

よって,(ab)(bc)(ca)g(a,b,c)(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c) と因数分解できるが,g(a,b,c)g(a,b,c)11 次の対称式であり,a3ba^3b の係数を比較することによって g(a,b,c)=a+b+cg(a,b,c)=a+b+c であることが分かる: a3(cb)+b3(ac)+c3(ba)=(ab)(bc)(ca)(a+b+c)a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)\\ =(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

定理1の証明

2変数の交代式 f(a,b)f(a,b) が,(ab)(a-b) を因数に持つことを証明します。定理1の証明には,因数定理を使います。

証明

f(a,b)f(a,b) は交代式なので,

f(b,b)=f(b,b)f(b,b)=-f(b,b) より,f(b,b)=0f(b,b)=0 である。

次に,f(a,b)f(a,b)aa の1変数関数 g(a)g(a) と見て因数定理を用いる。すると,

g(b)=f(b,b)=0g(b)=f(b,b)=0

なので因数定理から g(a)g(a)(ab)(a-b) で割り切れる。

ちなみに,3変数以上の場合についても,因数定理を使って同様に証明できます。

難しい例題

以下の例はシュタイナーレームスの定理の証明中に出てくるゴツイ方程式です。

例題

方程式

c(12b)(1c)2=b(12c)(1b)2c(1-2b)(1-c)^2=b(1-2c)(1-b)^2

を解く。これは f(b,c)=f(c,b)f(b,c)=f(c,b) という形の方程式になっている。左辺に集めると f(b,c)f(c,b)=0f(b,c)-f(c,b)=0 という形になり,左辺は交代式である。よって (bc)(b-c) を因数に持つことが分かる。

方程式を見た時に b=cb=c が解の1つになっていることに気づかないと4次式のゴツさに根負けしまいます。

交代式は,対称式よりはずいぶんとマイナーですが覚えておきましょう。

Tag:因数分解の発展的な公式・応用例まとめ

Tag:数学1の教科書に載っている公式の解説一覧

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