交代式の因数分解と実践的な例題

$$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$$ の因数分解を考える。この多項式は，どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。

よって， $$(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)$$ と因数分解できるが，$g(a,b,c)$ は $0$ 次の対称式（=定数）であり，$a^2b$ の係数を比較することによって $g(a,b,c)=-1$ であることが分かる： $$\begin{aligned}&a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\ &=-(a-b)(b-c)(c-a)\end{aligned}$$

$$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)$$ の因数分解を考える。この多項式は，どの2変数を交換しても値がマイナス1倍されるので交代式である。

よって， $$(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)$$ と因数分解できるが，$g(a,b,c)$ は $1$ 次の対称式であり，$a^3b$ の係数を比較することによって $g(a,b,c)=a+b+c$ であることが分かる： $$\begin{aligned}&a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)\\ &=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\end{aligned}$$

方程式

$c(1-2b)(1-c)^2=b(1-2c)(1-b)^2$

を解く。これは $f(b,c)=f(c,b)$ という形の方程式になっている。左辺に集めると $f(b,c)-f(c,b)=0$ という形になり，左辺は交代式である。よって $(b-c)$ を因数に持つことが分かる。