因数分解公式（ソフィージェルマンの恒等式）

更新日時 2021/03/07

ソフィー・ジェルマン(Sophie Germain)の恒等式

$a^4+4b^4\\=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$

左辺は因数分解できなさそうな式ですが，因数分解できます！　整数問題で威力を発揮する恒等式です。

恒等式の導出
なぜ係数が4なのか
数学オリンピックの問題へ応用

恒等式の導出

右辺を展開して左辺に一致することを確認すれば，簡単に証明できます。
恒等式を知らなくても，左辺を右辺に因数分解できます：

因数分解の流れ

$a^4+4b^4\\ =a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\ =(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2\\ =(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$

なぜ係数が4なのか444
 以外の場合にも同様の公式が得られないか探してみます。
より一般的に
a4+kb4a^4+kb^4a4+kb4
 に同様の手法を適用して強引に因数分解すると，
a4+kb4=(a2+2kab+kb2)(a2−2kab+kb2)a^4+kb^4=(a^2+\sqrt{2\sqrt{k}}ab+\sqrt{k}b^2)(a^2-\sqrt{2\sqrt{k}}ab+\sqrt{k}b^2)a4+kb4=(a2+2k​​ab+k​b2)(a2−2k​​ab+k​b2)
となり，残念ながらルートが出てきてしまいます。
kと2k\sqrt{k}と\sqrt{2\sqrt{k}}k​と2k​​
 が整数になると嬉しそうです。そのような
kkk
 の条件を求めると，k=4n4 (nk=4n^4\:(nk=4n4(n
 は整数）となり，そのとき恒等式の左辺は
a4+4n4b4a^4+4n^4b^4a4+4n4b4
 となります。これはソフィージェルマンの恒等式で
b=nbb=nbb=nb
 としたものに他なりません。

数学オリンピックの問題へ応用

ソフィー・ジェルマンの恒等式の威力を実感してもらうために，1969年の国際数学オリンピックルーマニア大会の問題を紹介します。

問題

「任意の自然数 $n$ に対して $n^4+a$ が素数でない」という条件を満たす自然数 $a$ が無限個存在することを証明せよ。

方針

ソフィージェルマンの恒等式を知らないとかなり厳しい問題です。 $n^4+a$ が合成数であるような $a$ が無限個存在することを示せばよいので， $a=4k^4$ とすれば恒等式が使えます。

解答

$a=4k^4\:(k$ は $2$ 以上の自然数) のとき問題の条件を満たすことを示せば良い。つまり，任意の自然数 $k\geq 2, n$ に対して $n^4+4k^4$ が合成数であることを示せば良い。

$n^4+4k^4=(n^2+2nk+2k^2)(n^2-2nk+2k^2)$

と因数分解できるので， $(n^2-2nk+2k^2)\geq 2$ を示せばよいが，これは

$n^2-2nk+2k^2=(n-k)^2+k^2$ より成立。

知名度は低いですが，数学オリンピックなどの難問ではたまに使う渋い恒等式です。

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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！