不動点を用いた関数方程式の解法

Step1:

$x=y=1$ を代入して，$f(f(1))=f(1)$

次に $x=1,y=f(1)$ を代入して $f(1)=f(1)f(1)$

よって，$f(1) > 0$ より $f(1)=1$ となり $1$ は $f$ の不動点である。

また，$x=y$ を代入すると任意の $x$ に対して $xf(x)$ が $f$ の不動点であることが分かる。

$1$ 以外に不動点がないことを証明すれば，任意の $x$ に対して $xf(x)=1$ つまり $f(x)=\dfrac{1}{x}$ であることが分かる。

Step2:

$a > 1$ が不動点だとすると，関数方程式に $x=y=a$ を代入して

$f(a^2)=a^2$ となり $a^2$ も不動点。これを繰り返すと $a^{2^k}$ が不動点でいくらでも大きい不動点が作れるので2つめの条件に矛盾。

$a <1$ が不動点だとすると，$x=\dfrac{1}{a},y=a$ をもとの関数方程式に代入して $f\left(\dfrac{1}{a}f(a)\right)=af\left(\dfrac{1}{a}\right)$ 。

よって，$f(a)=a$ を使うと上式は $f(1)=af\left(\dfrac{1}{a}\right)$ より，$f\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{a}$ となり，$\dfrac{1}{a} > 1$ が不動点になりさきほどの議論に矛盾。