2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

$x$ と $\sqrt{(x+1)(x+2)}$ を移項する：

$\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}\\ =2-x-\sqrt{(x+1)(x+2)}$

両辺二乗するといろいろ消える：

$x(x+1)+x(x+2)+2\sqrt{x^2(x+1)(x+2)}\\=4+x^2+(x+1)(x+2)-4x\\+2x\sqrt{(x+1)(x+2)}-4\sqrt{(x+1)(x+2)}$

$\Rightarrow 0=6-4x-4\sqrt{(x+1)(x+2)}$

ルートが一つになったので再び移項して両辺二乗する：

$4(x+1)(x+2)=(3-2x)^2$

展開する：

$12x+8=9-12x$

よって，答えは $x=\dfrac{1}{24}$

もとの方程式は因数分解できる：

$(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})=2$

両辺に $(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})$ をかける（注）：

$2=2(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})$

展開する：

$x-\sqrt{x(x+1)}-\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=1$

もとの方程式と辺々加える：

$2x+2\sqrt{(x+1)(x+2)}=3$

ルートが一つ。解答1と全く同じ式が得られた！以下同様にして $x=\dfrac{1}{24}$

$\sqrt{x}=a,\:\sqrt{x+1}=b,\:\sqrt{x+2}=c$ とおく。

与えられた方程式は，

$(a+b)(a+c)=2$

となる。また，与えられた方程式の両辺に1を加えると，

$\sqrt{(x+1)(x+1)}+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=3$

となり，左辺が因数分解できる：

$(b+a)(b+c)=3$

同様に，もとの方程式の両辺に2を加えると，

$(c+a)(c+b)=4$

以上3つの式をかけ合わせる：

$(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2=24$

つまり，$(a+b)(b+c)(c+a)=2\sqrt{6}$

もとの3つの式とそれぞれ辺々割ることにより，

$a+b=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$b+c=\sqrt{6}$ （※）

$c+a=\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$

全部足して2で割る：

$a+b+c=\dfrac{13}{12}\sqrt{6}$

これと（※）より

$a=\dfrac{\sqrt{6}}{12}$

よって，$x=a^2=\dfrac{1}{24}$