無限降下法の整数問題への応用例

$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると，自然数 $m_1,n_1$ を用いて

$\sqrt{3}=\dfrac{n_1}{m_1}$ とおける。

$3m_1^2=n_1^2$ となるので $n_1$ は $3$ の倍数であることが分かり $n_1=3n_2$ とおける。

すると，$m_1^2=3n_2^2$ となり，$m_1$ も $3$ の倍数であることが分かり $m_1=3m_2$ とおける。

もとの方程式に代入すると $3m_2^2=n_2^2$ となる。

よって，自然数 $(m_1,n_1)$ が方程式 $3m^2=n^2$ を満たすなら $(m_2,n_2)=\left(\dfrac{m_1}{3},\dfrac{n_1}{3}\right)$ もそれぞれ自然数で同じ方程式を満たす。

この議論を繰り返すと，

$(m_1,n_1)\to (m_2,n_2)\to (m_3,n_3),\cdots$ のように，$3m^2=n^2$ を満たすいくらでも小さい $(m,n)$ を構成することができる。ところが，自然数には最小値があるので矛盾。よって，背理法により $\sqrt{3}$ は無理数である。

$x^4+y^4=z^2$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ が存在すると仮定する。そのような $(x,y,z)$ の組で $z$ が最小のものについて考える。すると，$(x^2,y^2,z)$ の最大公約数は $1$ となる（最大公約数が $d$ なら両辺を $d^2$ で割ることでより $z$ の小さい解を作れる）

$(x^2,y^2,z)$ は最大公約数が1であるピタゴラス数なので，ピタゴラス数の求め方とその証明で紹介した定理を使うと，互いに素な自然数 $p, q$ を用いて以下のように表せる：

$x^2=p^2-q^2, y^2=2pq, z=p^2+q^2$

よって，1つ目の式から $x^2+q^2=p^2$ となるので，$(x,q,p)$ もピタゴラス数となる。そして，$(x,q,p)$ の最大公約数は $1$ となる（理由：最大公約数が $d\geq 2$ なら $(x^2,y^2,z)$ がすべて $d$ の倍数になってしまい，$(x^2,y^2,z)$ の最大公約数が $1$ であることに矛盾）

よって，さきほどと同様に，自然数 $r, s$ を用いて以下のように表せる：

$x=r^2-s^2, q=2rs, p=r^2+s^2\cdots (1)$

以上の方程式から，

$y^2=2pq=4prs$

$p,r,s$ はどの2つをとっても互いに素（※）なので，それぞれ平方数となる：

$p=a^2,r=b^2,s=c^2$

これらと(1)の第3式を合わせて，

$a^2=b^4+c^4$ となりもとの方程式の新しい解を得られたが，$a\leq p\leq p^2 <z$ より，これは $z$ の最小性に矛盾。