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無限降下法の整数問題への応用例

更新日時 2021/03/07

このページでは,無限降下法について解説します。

  • 無限降下法とは何か?

  • 無限降下法の簡単な応用例:3\sqrt{3} が無理数であることの証明

  • 無限降下法の難しい応用例:フェルマーの最終定理の n=4n=4

目次
  • 無限降下法とは

  • 無限降下法を用いて無理数であることを証明

  • 無限降下法のポイント

  • フェルマーの最終定理の n=4n=4 の場合の証明

無限降下法とは

無限降下法とは,背理法の一種で,自然数に関する命題を証明する方法です。

具体的には,以下のような証明方法です。

  1. ○○を満たす自然数 n1n_1 があると仮定すると,より小さい n2n_2 で○○を満たすものが構成できる。

  2. これを繰り返すと,  n1n_1n2n_2n3n_3 → … のようにいくらでも小さい nn を構成できるが,自然数には最小値があるので矛盾。よって,○○を満たす自然数は存在しない。

これだけではわかりにくいので,無限降下法の具体例を説明します。

無限降下法を用いて無理数であることを証明

無限降下法を用いた証明の例として,3\sqrt{3} が無理数であることを証明します。

証明

3\sqrt{3} が有理数であると仮定すると,自然数 m1,n1m_1,n_1 を用いて

3=n1m1\sqrt{3}=\dfrac{n_1}{m_1} とおける。

3m12=n123m_1^2=n_1^2 となるので n1n_133 の倍数であることが分かり n1=3n2n_1=3n_2 とおける。

すると,m12=3n22m_1^2=3n_2^2 となり,m1m_133 の倍数であることが分かり m1=3m2m_1=3m_2 とおける。

もとの方程式に代入すると 3m22=n223m_2^2=n_2^2 となる。

よって, 自然数 (m1,n1)(m_1,n_1) が方程式 3m2=n23m^2=n^2 を満たすなら (m2,n2)=(m13,n13)(m_2,n_2)=(\dfrac{m_1}{3},\dfrac{n_1}{3}) もそれぞれ自然数で同じ方程式を満たす。

この議論を繰り返すと,

(m1,n1)(m2,n2)(m3,n3),(m_1,n_1)\to (m_2,n_2)\to (m_3,n_3),\cdots のように,3m2=n23m^2=n^2 を満たすいくらでも小さい (m,n)(m,n) を構成することができる。ところが,自然数には最小値があるので矛盾。よって,背理法により 3\sqrt{3} は無理数である。

同様にして pp が素数なら p\sqrt{p} が無理数であることが証明できます。

なお,この問題は通常の背理法を用いて簡単に証明することができるので,無限降下法を使う嬉しさはありません。(あくまで,無限降下法の練習と言うことで…)

無限降下法のポイント

無限降下法のポイントは,

「○○を満たす自然数 n1n_1 があると仮定すると,より小さい n2n_2 で○○を満たすものが構成できる」

という主張を示すことです。

この主張が証明できれば,あとの流れはただの定型文です。定型文の言い方は2種類ありますが,どちらでも構いません。

定型文の言い方1(先ほど紹介したもの):

これを繰り返すと,n1n2n3n_1\to n_2\to n_3\to\cdots のようにいくらでも小さい nn を構成できるが,自然数には最小値があるので矛盾。よって,○○を満たす自然数は存在しない。

定型文の言い方2:

○○を満たす最小の自然数を n1n_1 とすると,上記の主張よりそれより小さい n2n_2 が構成できて,n1n_1 が最小であることに矛盾。よって,○○を満たす自然数は存在しない。

フェルマーの最終定理の n=4n=4 の場合の証明

無限降下法を用いた証明の例をもう1つ紹介します。

フェルマーの最終定理の n=4n=4 の場合,つまり a4+b4=c4a^4+b^4=c^4 を満たす自然数 a,b,ca, b, c が存在しないことを示します。 x4+y4=z2x^4+y^4=z^2 を満たす自然数が存在しないことを言えば十分です。

今回は,先ほどの「定型文の言い方2」を使ってみます。

証明

x4+y4=z2x^4+y^4=z^2 を満たす自然数 (x,y,z)(x, y, z) が存在すると仮定する。そのような (x,y,z)(x,y,z) の組で zz が最小のものについて考える。すると,(x2,y2,z)(x^2,y^2,z) の最大公約数は 11 となる(最大公約数が dd なら両辺を d2d^2 で割ることでより zz の小さい解を作れる)

(x2,y2,z)(x^2,y^2,z) は最大公約数が1であるピタゴラス数なので,ピタゴラス数の求め方とその証明で紹介した定理を使うと,互いに素な自然数 p,qp, q を用いて以下のように表せる:

x2=p2q2,y2=2pq,z=p2+q2x^2=p^2-q^2, y^2=2pq, z=p^2+q^2

よって,1つ目の式から x2+q2=p2x^2+q^2=p^2 となるので,(x,q,p)(x,q,p) もピタゴラス数となる。そして,(x,q,p)(x,q,p) の最大公約数は 11 となる(理由:最大公約数が d2d\geq 2 なら (x2,y2,z)(x^2,y^2,z) がすべて dd の倍数になってしまい,(x2,y2,z)(x^2,y^2,z) の最大公約数が 11 であることに矛盾)

よって,さきほどと同様に,自然数 r,sr, s を用いて以下のように表せる:

x=r2s2,q=2rs,p=r2+s2(1)x=r^2-s^2, q=2rs, p=r^2+s^2\cdots (1)

以上の方程式から,

y2=2pq=4prsy^2=2pq=4prs

p,r,sp,r,s はどの2つをとっても互いに素(※)なので,それぞれ平方数となる:

p=a2,r=b2,s=c2p=a^2,r=b^2,s=c^2

これらと(1)の第3式を合わせて,

a2=b4+c4a^2=b^4+c^4 となりもとの方程式の新しい解を得られたが,app2<za\leq p\leq p^2 <z より,これは zz の最小性に矛盾。

※例えば p,rp, r の最大公約数が dd だと ssdd の倍数となり,x,q,px,q,p が全て dd の倍数となる。

無限降下法は数学的帰納法の一種ともみなせます。他のパターンについては数学的帰納法のパターンまとめも参考にしてみてください。

整数問題の証明は細部を丁寧にやるのが難しい

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