ファクシミリの原理と通過領域の例題２問

$x=k$ と固定して $y$ のとりうる値を考える。

$y=2tk-t^2\:(t\geqq -1)$ のとりうる値の範囲を求めるために，平方完成する：

$$y=-(t-k)^2+k^2$$

• $k\geqq -1$ のとき
  $y$ は $t=k$ で最大値 $k^2$ をとる。また，$t$ をいくらでも大きくすることで $y$ はいくらでも小さくなる。つまり，$y$ の範囲は $y\leqq k^2$ となる。

• $k< -1$ のとき
  $y$ は $t=-1$ で最大値 $-(k+1)^2+k^2=-2k-1$ をとる。また，$t$ をいくらでも大きくすることで $y$ はいくらでも小さくなる。つまり，$y$ の範囲は $y\leqq -2k-1$ となる。

以上より，求める領域は図の薄緑の部分（境界は含む）

$x=k$ と固定して $y$ のとりうる範囲を求める：

$$\begin{aligned} y &= ak^2 + \dfrac{1-4a^2}{4a}\\ &= a(k^2-1) + \dfrac{1}{4a} \: (a > 0) \end{aligned}$$

1. $k^2=1$ のとき
   $y=\dfrac{1}{4a}\:(a > 0)$ のとりうる範囲は $0 < y$

2. $k^2 <1$ のとき
   $a(k^2-1)$ も $\dfrac{1}{4a}$ も単調減少である。また， $$\lim_{a\to 0} \left\{a(k^2-1)+\dfrac{1}{4a}\right\}=\infty\\ \lim_{a\to\infty}\left\{a(k^2-1)+\dfrac{1}{4a}\right\}=-\infty$$ であることに注意すると，$y$ のとりうる範囲は実数全体

3. $k^2 > 1$ のとき $$\begin{aligned} &a(k^2-1)+\dfrac{1}{4a}\\ &\geqq 2\sqrt{\dfrac{a(k^2-1)}{4a}}\\ &=\sqrt{k^2-1} \end{aligned}$$ これと，$\displaystyle\lim_{a\to 0} \left\{a(k^2-1)+\dfrac{1}{4a}\right\}=\infty$ より $y$ のとりうる範囲は$\sqrt{k^2-1}\leqq y$

よって，答えは図のようになる。

（ただし，境界は白丸，点線の部分のみ含まない）