3次関数の極大値と極小値の差をすばやく計算するテクニック

極大値と極小値の差は

$$\begin{aligned}&|f(\alpha)-f(\beta)|\\ &=\left|\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)dx\right|\\ &=\left|\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}3a(x-\alpha)(x-\beta)dx\right|\\ &=\dfrac{|a|}{2}|\beta-\alpha|^3\end{aligned}$$

ただし，最後の等号は $\dfrac{1}{6}$ 公式を使った。→放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

より，$\alpha=-3,\beta=1$ が極大と極小を与える。公式より

$f(\beta)-f(\alpha)=\dfrac{1}{2}\times 4^3=32$

この程度なら普通に計算できる。

$f(1)=1+3-9+1=-4$

$f(-3)=-27+27+27+1=28$ よりその差は $32$

$f'(x)=9x^2+6x\left(\dfrac{1}{a}-a\right)-4$

この判別式を $D$ とおくと

$\dfrac{D}{2}=9\left(\dfrac{1}{a}-a\right)^2+36>0$ より，$f'(x)=0$ は実数解 $\alpha,\beta\:(\alpha<\beta)$ を持つ。

定理より，極大と極小の差が最小になるのは $(\beta-\alpha)$ が最小になるとき。

また，解と係数の関係より $\alpha+\beta=-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{a}-a\right),\alpha\beta=-\dfrac{4}{9}$

なので，

$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\ =\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{a^2}+a^2-2+4\right)$

これが最小になるのは，相加相乗平均の不等式より $a=\dfrac{1}{a}$ のとき。つまり $a=\pm 1$ のとき。