極大値・極小値の意味と求め方

• 極大とは，自分の近くの範囲で一番大きいという意味です。

• もう少しきちんと言うと，以下のようになります。

$x$ が $a$ の近所では，$f(a)$ が最大という意味です。

• 極小値も同様です。極小とは，自分の近くの範囲で一番小さいという意味です。

• また，極小値，極大値を合わせて極値と言います。

関数 $f(x)$ が微分可能な場合，以下が成立します。

• 極大・極小の点では $f'(x)=0$ となる。
• さらに，$f'(x)$ がプラスからマイナスに切り替わる点が極大。 微分係数 $f'(x)$ は接線の傾きです。これがプラスからマイナスに切り替わるのが山の頂上（極大）というわけです。
• 逆に，$f'(x)$ がマイナスからプラスに切り替わる点が極小。

以上の性質をふまえると，以下の手順で極大・極小の点を求めることができます。

実際に極値を求めてみましょう。

高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～ のT171では，3次関数の極値に関する応用問題と，その2通りの解き方，および計算ミスを減らすコツを紹介しています。

極値の性質とその証明を整理しておきます。

一部はさきほどの例題でも述べましたが，$f(x)$ が微分可能な場合には，以下の性質1～3が成立します。

なお，多変数関数の場合はややこしくなります。→多変数関数の極値判定とヘッセ行列

• 極大（極小）は「自分の近くの範囲で一番大きい（小さい）」という意味でした。
  最大（最小）とは「全体の中で一番大きい（小さい）」という意味です。

• 最大（世界で一番大きい）なら極大（近所でも一番大きい）ですが，逆は成り立つとは限りません。

• 紫の点は「極大」であり「最大」です。
  赤い点は「極大」ですが「最大ではない」です。

• 極大（極小）は自分の周りだけで決まる局所的な性質です。最大（最小）は全体で決まる大域的な性質です。

ちなみに，最大をきちんと定義すると定義域内の任意の実数 $x$ に対して $f(x)\leqq f(a)$ のとき，$f(a)$ を最大値と言うです。

「微分が−から＋に変わるところが極小」という覚え方をしている人がいますが，それは微分可能な場合の話です。一般的な定義だと思ってはいけません。例えば極端な例ですが，図のような関数は $x=0$ の前後で微分が−から＋に変わりますが極大です。

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