指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明
任意の に対して の導関数は, である。
この公式を4通りの方法で証明します! 指数関数の取り扱い,極限操作の練習にどうぞ。
注:この記事では対数の底を省略した場合は底が であることを表します。底が のときは明記します。
定義に従って求める方法
対数微分法を用いる方法
逆関数の微分公式を用いる方法
e^xの微分公式を用いる方法
定義に従って求める方法
微分の定義に従って計算していきます。
逆関数の微分公式を用いる方法
前提:逆関数の微分
の逆関数は, である。
これを で微分すると,
よって,逆関数の微分公式より,
証明2と非常に似ていますが,考え方(対数微分法なのか逆関数の微分なのか)は異なります。
e^xの微分公式を用いる方法
前提: ,合成関数の微分
であるので,合成関数の微分公式より
一般の指数関数 を,一番扱いやすい指数関数 に帰着させる公式: はかなり重要です。
証明1が一番複雑ですが,定義に従って導出できることも大事です。