交代行列の定義と性質

交代行列の定義より， $$A^{\top} = -A\\ A + A^{\top} = 0$$ よって，行列の対角成分を $a_{ii}$ で表せば， $$a_{ii} + a_{ii} = 0\\\therefore a_{ii} = 0$$

行列 $A$ が対称行列であるとすると， $$A^{\top} = A$$ それに加えて，$A$ が交代行列であるとすると， $$A^{\top} = -A$$ 二式より， $$\begin{aligned} A &= -A\\ \therefore A &= O \end{aligned}$$

まず，$\dfrac{A + A^{\top}}{2}$ が対称行列であることは以下のように確認できる。 $$\begin{aligned} \left(\dfrac{A + A^{\top}}{2}\right)^{\top} = \dfrac{A^{\top} + (A^{\top})^{\top}}{2} = \dfrac{A + A^{\top}}{2} \end{aligned}$$ また，$\dfrac{A - A^{\top}}{2}$ が交代行列であることは以下のように確認できる。 $$\begin{aligned} \left(\dfrac{A - A^{\top}}{2}\right)^{\top} = \dfrac{A^{\top} - (A^{\top})^{\top}}{2} = - \left(\dfrac{A - A^{\top}}{2}\right) \end{aligned}$$ $A = \dfrac{A + A^{\top}}{2} + \dfrac{A - A^{\top}}{2}$ は任意の行列に対して成り立つので，$A$ は必ず対称行列と交代行列の和に分解できることがわかった。

次に，この分解以外に方法がないこと（一意性）を示す。行列 $A$ の分解が一意でない，つまり，対称行列 $M_1, N_1$，交代行列 $M_2,N_2$ を用いて $$A = M_1 + M_2 = N_1 + N_2 \quad(\text{ただし，}(M_1, M_2) \neq (N_1, N_2))$$ とかけると仮定する。この式から， $$M_1 - N_1 = N_2 - M_2$$ が成立することがわかる。左辺は対称行列であり，右辺は交代行列であるから，$M_1 - N_1, N_2 - M_2$ はどちらも対称行列かつ交代行列である。前節の定理より，対称行列かつ交代行列であるような行列は零行列であるから， $$M_1 = N_1, M_2 = N_2$$ これは「行列 $A$ の分解が一意でない」という仮定に矛盾する。よって，行列 $A$ の分解は一意である。

$A$ の一つの固有値を $\lambda$ ，対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とおく。定義より， $$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$ 両辺の共役転置を取ると $$\boldsymbol{x}^* A^* = -\boldsymbol{x}^* A = \overline{\lambda} \boldsymbol{x}^*$$ 一つ目の式より， $$\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^*\lambda \boldsymbol{x} = \lambda \|\boldsymbol{x}\|^2$$ 二つ目の式より， $$\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x} = -\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x} =-\overline{\lambda}\|\boldsymbol{x}\|^2$$ これら二式より， $$\lambda = -\overline{\lambda}$$ これより， $$\mathrm{Re} (\lambda) = \dfrac{\lambda + \overline{\lambda}}{2} = 0$$

$$A^{\top} \boldsymbol{x} = -A \boldsymbol{x} = -\lambda \boldsymbol{x}$$ より，$-\lambda$ が $A^{\top}$ の固有値であることがわかる。転置しても固有値は変化しないので，$-\lambda$ は $A$ の固有値でもある。