剛体の定義・並進運動・回転運動

物質中にとった任意の2点間の距離が完全に固定されているような個体を剛体と言います。簡単に言えば全く変形しない物体のことです。剛体はあくまでもモデルであり，現実には力を加えればある程度は変形してしまいます。しかし，多くの固体において力学を考える際，変形は無視できるほど小さいことが多く，このようなモデルで議論しても支障がないことが多いです。このような事情から，剛体を考えることはとても有用です。たとえば現実世界のボールの衝突は剛体球の衝突問題として考えることが多いです。

剛体の運動を記述することを考える力学のことを，剛体力学と言います。

剛体を細かく切り刻んでいけば，$n$ 個の小さな物体，つまり質点の集合として剛体を考えることができます。$n$ 個の質点でできた系「$n$ 質点系」として剛体をみたて，まずは並進運動について考えます。

ここでの議論は，作用反作用の法則〜ニュートンの第3法則〜でした議論とほぼ同じです。作用反作用の法則が本質的な役割をします。

質点同士で及ぼし合う力を「内力」，それ以外に外から受ける力を「外力」と呼んで区別することにします。

$i$ 番目の質点に働く外力を $\boldsymbol{F_i}$，別の $j (\neq i)$ 番目の質点から受ける内力を $\boldsymbol{F_{j \to i}}$ とすると， $$m_i \dfrac{d^2 \boldsymbol{r_i}}{dt^2} = \boldsymbol{F_i} + \sum_{j\neq i}\boldsymbol{F_{j \to i}}$$ ただし，$\sum_{j\neq i}$ は $j$ について $i$ 以外の値を全て動き，総和を取りなさい，という意味の記号として用いています。ここで，$\boldsymbol{F_{i \to i}} = \boldsymbol{0}$ を考慮すれば， $$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j\neq i}\boldsymbol{F_{j \to i}} = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^n\boldsymbol{F_{j \to i}} = \dfrac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}(\boldsymbol{F_{i \to j}} + \boldsymbol{F_{j \to i}}) = \boldsymbol{0}$$ ただし，作用反作用の法則により $\boldsymbol{F_{i \to j}} + \boldsymbol{F_{j \to i}} = \boldsymbol{0}$ が成立することを利用しています。よって， $$\sum_{i = 1}^{n}\left(m_i \dfrac{d^2 \boldsymbol{r_i}}{dt^2}\right) = \sum_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F_i}$$ $M$ を全質点の質量の和とすれば， $$\therefore M \dfrac{d^2 \boldsymbol{\overline{r}}}{dt^2} = \sum_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F_i}$$ ただし，$\boldsymbol{\overline{r}}$ は重心の位置ベクトルです。この式より，「質点系の重心はその点に系の全質量と全外力が集中した１個の質点と同じ運動を行う」ことがわかりました。 この式を，「重心の運動方程式」と呼びます。

現実の物体は大きさを持ちます。もともとNewtonの運動方程式は質点に対して成立するものでしたが，このような議論により 大きさのある物体でも重心に対してはNewtonの運動方程式と全く同形の方程式が成立することがわかりました。

次に剛体の回転運動について議論したいのですが，その前に角速度という概念について知っておきましょう。

ある固定された軸の周りに質点が回転していることを考えます。中心角 $\theta$ の時間変化率 $\dfrac{d\theta}{dt}$ を大きさとして，回転の向きと同じ向きに右ネジを回して進む方向の向きを持つベクトルを角速度といい，$\boldsymbol{\omega}$ で表記することにします。

Pが角速度 $\boldsymbol{\omega}$ で点Cを中心に半径 $\rho$ の円周上を回転しているとき，回転軸上の点 $O$ を座標原点として，Pの位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$ とし，$\boldsymbol{r}$ と回転軸のなす角を$\varphi$ とします。この時， $$||\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}||=\omega r\sin\varphi=\omega\rho$$ ここで円運動する際の速度の式により（詳しくは別の記事で解説します）， $$\omega\rho=v$$ よって， $$\boldsymbol{v}=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$$ と書くことができます。

剛体を形成する全質点の角運動量の総和全角運動量 $\boldsymbol{L}$ を考えます。

$i$ 番目の質点の角運動量 $$\boldsymbol{L_i}(t) = \boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{p_i} = \boldsymbol{r_i} \times (m_i \boldsymbol{p_i}) = \boldsymbol{r_i} \times \left(m_i\dfrac{d\boldsymbol{r_i}}{dt}\right)$$ に対して，全角運動量$\boldsymbol{L}$を $$\boldsymbol{L} := \sum_{i = 1}^{n} (\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{p_i})$$ と定義します。$i$番目の質点に働く外力を$\boldsymbol{F_i}$，別の$j (\neq i)$番目の質点から受ける内力を$\boldsymbol{F_{j \to i}}$とすると， $$m_i \dfrac{d^2 \boldsymbol{r_i}}{dt^2} = \boldsymbol{F_i} + \sum_{j\neq i}\boldsymbol{F_{j \to i}}$$ 左から，$\boldsymbol{r_i}$を外積としてかけると $$\boldsymbol{r_i} \times \dfrac{d\boldsymbol{p_i}}{dt} = \boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i} + \sum_{j\neq i}(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}})$$ $$\therefore \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \dfrac{d\boldsymbol{p_i}}{dt}\right) = \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i}\right) + \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j\neq i}(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}})$$ ところで， $$\dfrac{d{\boldsymbol{L}}}{d{t}} = \sum_{i = 1}^{n} \left(\dfrac{d{\boldsymbol{r_i}}}{d{t}} \times \boldsymbol{p_i}\right) + \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \dfrac{d\boldsymbol{p_i}}{dt} \right)$$ において外積の定義より $$\sum_{i = 1}^{n} \left(\dfrac{d{\boldsymbol{r_i}}}{d{t}} \times \boldsymbol{p_i}\right) = \boldsymbol{0}$$ であるので $$\dfrac{d{\boldsymbol{L}}}{d{t}} = \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i}\right) + \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j\neq i}(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}})$$ ここで，$\boldsymbol{F_{i \to i}} = \boldsymbol{0}$を考慮すれば， $$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j\neq i} \left( \boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}} \right) &= \dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} \left\{ \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}}\right) + \left(\boldsymbol{r_j} \times \boldsymbol{F_{i \to j}}\right)\right\}\\ &= \dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} \left(\left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_{j \to i}}\right)+\left(\boldsymbol{r_j} \times \left(-\boldsymbol{F_{j \to i}}\right)\right) \right)\\ &= \dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} \left( \left(\boldsymbol{r_i} - \boldsymbol{r_j}\right) \times \boldsymbol{F_{j \to i}} \right) \end{aligned}$$ よって， $$\dfrac{d{\boldsymbol{L}}}{d{t}} = \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i} \right) +\dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} \left( (\boldsymbol{r_i} - \boldsymbol{r_j}) \times \boldsymbol{F_{j \to i}} \right)$$ 特に，内力が質点同士を結ぶ線分と平行な場合（現実ではこれが仮定できることがほとんどです。質点同士には万有引力のみが働きます。），右辺の第２項が $\boldsymbol{0}$ となって $$\dfrac{d{\boldsymbol{L}}}{d{t}} = \sum_{i = 1}^{n} \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i}\right) =: \sum_{i = 1}^{n}\boldsymbol{N_i}$$ これは，「内力が質点同士を結ぶ線分と平行な場合，質点系の座標原点 $O$ に関する全角運動量の時間的変化の割合は，$O$の周りの各質点に働く外力の力のモーメントの総和に等しい」ことを表します。

全角運動量 $\boldsymbol{L}$ は， $$\boldsymbol{L} = \sum_{i} \left(\boldsymbol{r_i} \times m_i \boldsymbol{v_i}\right)$$ とかけるので，回転軸上に $O$ を持つ直交座標 $(x,y,z)$ に対し， $$\begin{aligned} L_x &= \sum_{i} \left(\boldsymbol{r_i} \times m_i \boldsymbol{v_i}\right)_x = \sum_{i} m_i \left(\boldsymbol{r_i} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r_i})\right)_x\\ &= \sum_{i} m_i \left(y_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r_i})_z - z_i(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r_i})_y\right)\\ &= \sum_{i} m_i \left(y_i(\omega_x y_i - \omega_y x_i) - z_i(\omega_z x_i - \omega_x z_i)\right)\\ &= \omega_x \sum_{i}m_i (x_i^2 + y_i^2) - \omega_y \sum_{i}m_i y_i x_i - \omega_z \sum_{i}m_i z_i x_i \end{aligned}$$

ここで，$x$ 軸,$y$ 軸,$z$ 軸に関する慣性モーメント $I_x, I_y, I_z$, 慣性乗積 $I_{xy}, I_{yz}, I_{zx}$ を， $$\begin{cases} I_x := \sum_{i} m_i (y_i^2 + z_i^2)\\ I_y := \sum_{i} m_i (z_i^2 + x_i^2)\\ I_z := \sum_{i} m_i (x_i^2 + y_i^2)\\ I_{xy} = I_{yx} := \sum_i m_i x_i y_i\\ I_{yz} = I_{zy} := \sum_i m_i y_i z_i\\ I_{xz} = I_{zx} := \sum_i m_i z_i x_i\\ \end{cases}$$ と定義すると，同様に計算すれば $$\begin{cases} L_x = I_x \omega_x - I_{xy} \omega_y - I_{xz} \omega_z\\ L_y = -I_{yx} \omega_x + I_{y} \omega_y - I_{yz} \omega_z\\ L_z = -I_{zx} \omega_x - I_{zy} \omega_y + I_{z} \omega_z\\ \end{cases}$$ と書くことができます。

慣性モーメントは並進運動の質量に相当する量で，物体に回転運動をさせようとするときに，物体が回転させられまいと抵抗する度合いを与えます。このことを以下に示します。

ちなみに，同様に議論すれば，質量が連続的に分布する場合の慣性モーメントは重積分を用いて $$\begin{aligned} I_x = \int_V (y^2 + z^2)\rho dV\\ I_y = \int_V (z^2 + x^2)\rho dV\\ I_z = \int_V (x^2 + y^2)\rho dV\\ \end{aligned}$$ と書くことができます。

特に，剛体がある固定軸の周りに回転運動を行う場合を考えます。

上図のように設定すると， $$\omega_x = \omega_y = 0$$ よって，全角運動量の $z$ 成分 $L_z$ は， $$\begin{aligned} L_z &= I_z \omega_z\\ &= \left\{\sum_{i} m_i (y_i^2 + z_i^2)\right\} \omega_z \end{aligned}$$ この式において，両辺を微分すれば $$\dfrac{d{L_z}}{d{t}} = I_z \dfrac{d{\omega_z}}{d{t}}$$ ここで，力のモーメントの和を $\boldsymbol{N}$ とします。前節の議論により $$\dfrac{d{L_z}}{d{t}} = N_z$$ ですから， $$I_z \dfrac{d{\omega_z}}{d{t}} = N_z$$ 中心角を $\theta$ とすれば， $$I_z \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = N_z$$ が成立することがわかります。 この式は運動方程式と全く同じ形をしています。この意味で「慣性モーメントは並進運動の質量に相当する量で，物体に回転運動をさせようとするときに，物体が回転させられまいと抵抗する度合い」であると言えます。質量が重い物体は動かしづらいのと同様です。

$i$ 番目の微小領域は速さ $$v_i = \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \omega_z$$ で回転しているので，全体の回転運動エネルギー $E_{RK}$ は $$\begin{aligned} E_{RK} &= \sum_i \left\{\dfrac{1}{2} m_i (x_i^2 + y_i^2) \omega_z^2\right\}\\ &= \dfrac{1}{2} \left\{\sum_{i} m_i (x_i^2 + y_i^2)\right\}\omega_z^2\\ &= \dfrac{1}{2} I_z \omega_z^2 \end{aligned}$$ で表すことができます。