力のモーメントと角運動量の関係

位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ で表される点にある質点を考えます。この質点にかかる力がベクトル $\boldsymbol{F}$ で表されるとき，質点が受ける「力のモーメント」$\boldsymbol{N}$ は， $$\boldsymbol{N} := \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$$ によって定義されます。力のモーメントは，物体の回転に関わる物理量です。 なぜそのように言えるかを以下で解説していきます。

式から明らかなように，力のモーメントの定義には「外積」が用いられます。外積については高校数学の範囲を超えてしまうものですが，→ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ で解説しています。

簡単に言えば，「$\boldsymbol{N}$ は $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F}$ のどちらにも垂直で，大きさが $\|\boldsymbol{r}\|\|\boldsymbol{F}\|\sin \theta$ （$\theta$ は $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F}$ のなす角） であるようなベクトル」です。$\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F}$ に垂直なベクトルは3次元空間では一般に2つありますが，以下の図の方のベクトルを採用します。

この外積の選び方は「右手系」と呼ばれます。

力のモーメントは「てこの原理」を想像すると理解しやすいかもしれません。$\|\boldsymbol{r}\|$ が大きければ大きいほど，また，$\|\boldsymbol{F}\|$ が大きければ大きいほど力のモーメントは大きくなります。

力のモーメントが回転と関わることを理解するには，角運動量の理解が必要です。

位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ と運動量 $\boldsymbol{p}$ を持つ質点に対し，角運動量 $\boldsymbol{L}$ は $$\boldsymbol{L} := \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$$ と定義されます。

角運動量とは 「ある定められた軸からの距離と運動量の積」 です。一言で簡単に表すとすれば，「回転の勢い」を表すと言えるかもしれません。

$\boldsymbol{r}$ が一定であれば，$\boldsymbol{p}$ が大きいほど $\boldsymbol{L}$ も大きくなります。また，$\boldsymbol{p}$ が一定であれば，$\boldsymbol{r}$ が大きいほど $\boldsymbol{L}$ も大きくなります。

力のモーメントと角運動量の関係を考えます。質点の運動方程式： $$m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F}$$ からスタートします。

運動方程式の両辺で，左から$\boldsymbol{r}$と外積をとることを考えます。$\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$であることに注意すると $$\boldsymbol{r}\times m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = m\dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}\right) = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$$ と書き換えられることから，「角運動量の時間変化は，力のモーメントに等しい」と言えます。また，これを$t_0$から$t_1$で積分すれば， $$\Delta\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}(t_1) - \boldsymbol{L}(t_0) = \int_{t_0}^{t_1}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}dt$$ と表せます。この式から，「ある時間内で変化した角運動量は，力のモーメントを時間で積分した分に等しい」と言うことができます。

では，$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ となるような場合を考えてみましょう。$\boldsymbol{F}$ が $\boldsymbol{0}$ であることは必要ではありません。例えば，$\boldsymbol{F} \parallel \boldsymbol{r}$ となるような場合この式を満たします。 万有引力のみが働く2天体の運動などはその典型例です。

このようなとき， $$\dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}\right) = \boldsymbol{0}$$ です。つまり， $$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p} = \text{const.}$$ が成立します。これを角運動量保存の法則と呼ぶことがあります。この法則はケプラーの面積速度一定の法則と密接な関わり（むしろ，数学的には全く同値なことです）があります。この話はまた別の記事で解説します。

特別に，$\|\boldsymbol{r}\|$ が一定である場合を考えてみます。このとき $\boldsymbol{v}$ は $\boldsymbol{r}$ と垂直でなければなりませんから，$\boldsymbol{v}$ と $\boldsymbol{r}$ とのなす角 $\theta$ は $90^\circ$ で一定です。 $$\|\boldsymbol{L}\| = mvr \sin \theta$$ のうち，$\|\boldsymbol{L}\|, m,r,\theta$ が一定なので，$v$ も一定にならざるを得ません。これは質点が等速円運動することを示唆しています。

あえて日本語で言えば，力のモーメントがないときは，回転の勢いを表す角運動量が変化しなくなる，ということができます。

もし，$\|\boldsymbol{r}\|$ が一定で，$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} \neq \boldsymbol{0}$ が成立するならば，$\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$ が正であれば，$\boldsymbol{v}$ もどんどん大きくなることになります。 このように，力のモーメントと角運動量は対応関係を持っています。