1. 高校生から味わう理論物理入門
  2. 力のモーメントと角運動量の関係

力のモーメントと角運動量の関係

更新日時 2021/03/31

力のモーメント,角運動量の定義をした後,これら二つの関係(角運動量保存則等)について解説します。

目次
  • 力のモーメントの定義

  • 角運動量

  • 力のモーメントと角運動量の関係

力のモーメントの定義

位置ベクトル r\boldsymbol{r} で表される点にある質点を考えます。この質点にかかる力がベクトル F\boldsymbol{F} で表されるとき,質点が受ける「力のモーメント」N\boldsymbol{N} は, N:=r×F \boldsymbol{N} := \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} によって定義されます。力のモーメントは,物体の回転に関わる物理量です。 なぜそのように言えるかを以下で解説していきます。

式から明らかなように,力のモーメントの定義には「外積」が用いられます。外積については高校数学の範囲を超えてしまうものですが,→内積と外積の意味と嬉しさ で解説しています。

簡単に言えば,「N\boldsymbol{N}r,F\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F} のどちらにも垂直で,大きさが rFsinθ\|\boldsymbol{r}\|\|\boldsymbol{F}\|\sin \thetaθ\thetar,F\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F} のなす角) であるようなベクトル」です。r,F\boldsymbol{r}, \boldsymbol{F} に垂直なベクトルは3次元空間では一般に2つありますが,以下の図の方のベクトルを採用します。

右手系

この外積の選び方は「右手系」と呼ばれます。

力のモーメントは「てこの原理」を想像すると理解しやすいかもしれません。r\|\boldsymbol{r}\| が大きければ大きいほど,また,F\|\boldsymbol{F}\| が大きければ大きいほど力のモーメントは大きくなります。

角運動量

力のモーメントが回転と関わることを理解するには,角運動量の理解が必要です。

位置ベクトル r\boldsymbol{r} と運動量 p\boldsymbol{p} を持つ質点に対し,角運動量 L\boldsymbol{L}L:=r×p \boldsymbol{L} := \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} と定義されます。

角運動量の定義

角運動量とは 「ある定められた軸からの距離と運動量の積」 です。一言で簡単に表すとすれば,「回転の勢い」を表すと言えるかもしれません。

r\boldsymbol{r} が一定であれば,p\boldsymbol{p} が大きいほど L\boldsymbol{L} も大きくなります。また,p\boldsymbol{p} が一定であれば,r\boldsymbol{r} が大きいほど L\boldsymbol{L} も大きくなります。

力のモーメントと角運動量の関係

力のモーメントと角運動量の関係を考えます。質点の運動方程式: mdvdt=F m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F} からスタートします。

運動方程式の両辺で,左からr\boldsymbol{r}と外積をとることを考えます。v×v=0\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}であることに注意すると r×mdvdt=mddt(r×v)=ddt(r×p)=r×F \boldsymbol{r}\times m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = m\dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}\right) = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} と書き換えられることから,「角運動量の時間変化は,力のモーメントに等しい」と言えます。また,これをt0t_0からt1t_1で積分すれば, ΔL=L(t1)L(t0)=t0t1r×Fdt \Delta\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}(t_1) - \boldsymbol{L}(t_0) = \int_{t_0}^{t_1}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}dt と表せます。この式から,「ある時間内で変化した角運動量は,力のモーメントを時間で積分した分に等しい」と言うことができます。

では,r×F=0\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} となるような場合を考えてみましょう。F\boldsymbol{F}0\boldsymbol{0} であることは必要ではありません。例えば,Fr\boldsymbol{F} \parallel \boldsymbol{r} となるような場合この式を満たします。 万有引力のみが働く2天体の運動などはその典型例です。

このようなとき, ddt(r×p)=0 \dfrac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}\right) = \boldsymbol{0} です。つまり, r×p=const. \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p} = \text{const.} が成立します。これを角運動量保存の法則と呼ぶことがあります。この法則はケプラーの面積速度一定の法則と密接な関わり(むしろ,数学的には全く同値なことです)があります。この話はまた別の記事で解説します。

特別に,r\|\boldsymbol{r}\| が一定である場合を考えてみます。このとき v\boldsymbol{v}r\boldsymbol{r} と垂直でなければなりませんから,v\boldsymbol{v}r\boldsymbol{r} とのなす角 θ\theta9090^\circ で一定です。 L=mvrsinθ \|\boldsymbol{L}\| = mvr \sin \theta のうち,L,m,r,θ\|\boldsymbol{L}\|, m,r,\theta が一定なので,vv も一定にならざるを得ません。これは質点が等速円運動することを示唆しています。

あえて日本語で言えば,力のモーメントがないときは,回転の勢いを表す角運動量が変化しなくなる,ということができます。

もし,r\|\boldsymbol{r}\| が一定で,r×F0\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} \neq \boldsymbol{0} が成立するならば,r×F\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} が正であれば,v\boldsymbol{v} もどんどん大きくなることになります。 このように,力のモーメントと角運動量は対応関係を持っています。

角運動量の話は,剛体の回転の話でも登場します。

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