力積と運動量の関係

更新日時 2021/04/14

力積と運動量の関係について解説します。これらは別々に定義されますが,運動方程式によって関係が生まれます。

また,例として,「撃力」や「衝突」についても話題としてとりあげ,説明します。

目次
  • 運動量の定義

  • 力積の定義

  • 力積と運動量の関係式の導出

  • 運動量保存則の正体

運動量の定義

運動量と呼ばれる量は,以下のように定義されます:

運動量の定義

慣性質量 mm,速度 v\boldsymbol{v} で運動している質点の運動量 p\boldsymbol{p}p:=mv \boldsymbol{p} := m\boldsymbol{v} で定義する。

運動量は「質量×速度」の単位を持ちます。速度がベクトル量で,それにスカラー量である質量をかけていますから,運動量はベクトル量です。

運動量は一言で,「運動のいきおい」 を表すものであると言えるでしょう。速度が速い方が,運動に「いきおい」がある,というのは簡単に納得できます。なぜ質量に依存するかについてですが,例を考えればすぐに納得できると思います。空気中のほこりに 50km/h50 \mathrm{km/h} でぶつかるならなんともありませんが,車に 50km/h50 \mathrm{km/h} でぶつかられたらひとたまりもありません。

力積の定義

力積と呼ばれる量は,物理では以下のように定義されています:

力積の定義

質点にかかる力を F(t)\boldsymbol{F}(t) としたとき,t0t_0 から t1t_1 までに質点にかかる力積を, I:=t0t1Fdt I := \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F} dt によって定義する。

力積は「質量×力」の単位を持ちます。力はベクトル量であり,それにスカラー量である質量をかけていますから,力積はベクトル量です。定義から力積は, 力が大きいほど,また時間が長いほど,大きくなります。

のちに証明することになりますが,力積は運動量と密接な関係があります。つまり力積は,「運動のいきおい」を決める量であるということです。

力積と運動量の関係式の導出

質点の運動方程式: mdvdt=F m \dfrac{d{\boldsymbol{v}}}{d{t}} = \boldsymbol{F} の両辺を t0t_0 から t1t_1 まで時間で積分すると, m[v]t0t1=t0t1Fdt m [\boldsymbol{v}]_{t_0}^{t_1} = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F} dt Δp=(mv(t1)mv(t0))=t0t1Fdt \therefore \Delta \boldsymbol{p} = (m\boldsymbol{v}(t_1) - m\boldsymbol{v}(t_0)) = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F} dt この式から,「ある時間内で増加した分の運動量は,力積に等しい」ということができます。これが,力積と運動量の関係です。あっけなく導出できてしまいました。

特に,力積が 0\boldsymbol{0},つまり t0t1Fdt=0\int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F} dt = \boldsymbol{0} である場合, Δp=0 \Delta \boldsymbol{p} = \boldsymbol{0} つまり, p=const. \boldsymbol{p} = \mathrm{const.} となります。

ちなみに,「力積と運動量の関係」は,「仕事と運動エネルギーの関係」,「力のモーメントと角運動量の関係」とほぼ同様の構造を持っています。 一緒に確認してみてください。物理学,とくに力学にはこういった「アナロジー」的な要素が盛りだくさんです。このことに気づくだけで,力学の理論がだいぶスッキリしたものに見えるでしょう。そうやって少しずつ物理的な定義や定理に慣れていくと,自然と解ける問題も増えていくものです。

撃力

「力積と運動量の関係」の話題として,よく撃力が取り上げられます。撃力とは,「極めて短い時間だけ、極めて大きく作用する力」 のことを言います。

力が大きすぎると,力積は力の大きさに比例しますから,力積は無限大に発散してしまいます。しかし,極めて短い時間だけ働くとすれば,無限大な大きさの力に,無限小な時間をかけることになりますから,力積は有限の値に落ち着き得ます。よって,極めて短い間に運動量に変化が生まれ,急激に速度が変化する原因となります。

あくまでこれはモデルの一種に過ぎず,現実に適用できなければ応用には意味がないですが,実際の現実にもこのモデルを適用できる事例が多数あります。たとえば,バットでボールを打つ時,釘をハンマーで打つ時などです。

運動量保存則の正体

作用反作用の法則〜ニュートンの第3法則〜の記事の最後で,質点系の重心に関する運動方程式を導出しました。この運動方程式に対して,前節と全く同じ流れで処理すると, p=const. \overline{\boldsymbol{p}} = \mathrm{const.} を導けます。ここで, p=i=1nmivii=1nmi \overline{\boldsymbol{p}} = \dfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v}_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} であることを考えると, i=1nmivi=const. \sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v}_i = \mathrm{const.} ということもできます。これは俗に運動量保存則と呼ばれるものです。運動量保存則とは,系に働く全外力の総和ベクトルの力積が 0\boldsymbol{0} であるとき,系の運動量の総和は不変であるということを主張した法則です。

衝突

では,1つ例を考えてみます。運動量保存則関連の問題では,よく衝突のモデルが多く議論されます。

衝突直前の2物体A,Bがあり,それぞれの質量は mA,mBm_A, m_B,速度は vA,vB\boldsymbol{v}_A, \boldsymbol{v}_B であるとする。2物体が衝突した直後,それぞれの速度 vA,vB\boldsymbol{v}_A', \boldsymbol{v}_B' を求めよ。

2物体の衝突を考えます。衝突直前と衝突直後の運動量を結ぶ関係式を求めます。ここで,なぜ「直前」「直後」を考えるかわかりますか?

衝突の際,重力や摩擦力など2物体の系には外力が働いていることがほとんどです。系に働く外力が存在しているので,力積は 0\boldsymbol{0} になりません。これでは運動量保存則が成立してくれません。

しかし,衝突の際に生じる内力は,撃力であることが一般的です。撃力はとてつもなく大きく,重力や摩擦力など外力は無視できるほど大きいです。よって,直前直後を考えて,時間間隔をとても短くすれば,外力など余計な力の力積は 0\boldsymbol{0} とみなすことができるようになります(dt0dt \to 0 のとき,(有限の力のおおきさ)×dt0(\text{有限の力のおおきさ}) \times dt \to 0 となりますね)。このような理由から直前直後を考えています。

よって,衝突直前直後において,運動量保存則が成立し, mAvA+mBvB=mAvA+mBvB m_A \boldsymbol{v}_A + m_B \boldsymbol{v}_B = m_A \boldsymbol{v}_A' + m_B \boldsymbol{v}_B' が成立します。ご覧の通り,この式はベクトルの式です。平面上の衝突を考えるなら,x,yx,y で2式,空間上の衝突を考えるなら,x,y,zx,y,z で3式の関係式をつかって計算を進めることになります。運動量保存則がベクトルの式であることを忘れてしまう人がなぜか多いので,気をつけておきましょう。

日常的に使われる「運動量」という単語は,呼んで字のごとく体の運動をどれくらいしたかという意味なので,物理の運動量とは違った概念です。