相対論的な速度・加速度の変換則

ある慣性系 $S$ における空間上の点 $(x,y,z)$ と，その慣性系に対して $x$ 軸方向に $V$ の速度で並進運動する慣性系 $S'$ におけるLorentz変換後の点 $(x',y',z')$ の関係は以下の通りです。 $$\begin{cases} x' = \gamma(x-\beta(ct))\\ y' = y\\ z' = z\\ (ct') = \gamma (ct-\beta x)\\ \end{cases}$$ ここで，$S'$系における速度 $v'_x(t')$ は， $$\begin{aligned} v'_x(t') &= \dfrac{dx'}{dt'} = \dfrac{\dfrac{dx'}{dt}}{\dfrac{dt'}{dt}} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\gamma(x-\beta(ct))\right)}{\dfrac{d}{dt}\left(\gamma (ct-\beta x)\right)}\\ &= \dfrac{\gamma \dfrac{dx}{dt} - \gamma \beta c}{\gamma - \gamma \dfrac{\beta}{c} \dfrac{dx}{dt}}\\ &= \dfrac{v_x(t) - V}{1 - \dfrac{v_x V}{c^2}} \end{aligned}$$ 同様にすれば， $$v'_y(t') = \dfrac{v_y(t)}{\gamma\left(1 - \dfrac{v_x V}{c^2}\right)}, ~~v'_z(t') = \dfrac{v_z(t)}{\gamma\left(1 - \dfrac{v_x V}{c^2}\right)}$$

$S$系で $(v_x,v_y,v_z)$ の速度を持つ物体は，$S'$系では $(v_x', v_y', v_z')$ の速度で観測されることになります。

上図を参照してください。大物体の上に乗っている観測者 $S'$ が小物体を速度 $u$ で発射します。大物体の速度は $v$ です。地面の上に立っている観測者 $S$ が小物体を観測します。その速度は $w$ でした。

非相対論的に考えれば，単純な速度の足し合わせであるから，$w = u + v$ となります。$u,v$ が大きくなるほど，$w$ も大きくなり，光の速度も超えうることになります。

相対論的に考えると， $$u = \dfrac{w-v}{1-\dfrac{vw}{c^2}}$$ これを $w$ についてとけば $$w = \dfrac{u+v}{1+\dfrac{uv}{c^2}}$$ となります。$\dfrac{uv}{c^2} \ll 1$ の極限では，$w = u+v$ となります。

ここで，$c > u, c > v$ という条件のもとでは $$c-w = \dfrac{c+\dfrac{uv}{c} - u - v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}} = \dfrac{(c-u)(c-v)}{c + \dfrac{uv}{c}} > 0$$ つまり，$c > u, c > v$ のとき $c > w$ となります。つまり，$c$ より小さい速度どうしを足しても，$c$ 以上になることはできません。

一般に速度は連続関数であり，急に非連続的に増えることはありません。観測者 $S$ からみた物体でより一般的な話を考えます。

物体がある瞬間 $c$ より小さい $v$ の速度で動いているとき，次の瞬間速度は $v + a\delta t$ となりますが，どちらも $c$ より小さいため $c$ 以上の速度になることはできません。よって，いくら加速しても $c$ を超えることはできません（最初から $c$ を超えている物体の存在は否定できず，そのような存在があるとすると相対論は崩れてしまいますが，現在はそのような存在が確認されていません）。

加速度についても，速度と同じように計算すれば（計算過程は大幅に省略しています，ぜひ自分でやってみてください）， $$\begin{aligned} a_x'(t') &= \dfrac{dv_x'}{dt'} = \dfrac{\dfrac{dv_x'}{dt}}{\dfrac{dt'}{dt}} = \cdots = \dfrac{1}{\gamma^3 \left(1-\dfrac{v_x V}{c^2}\right)^3} ~ a_x\\ a_y'(t') &= \cdots = \dfrac{1}{\gamma^2}\left\{\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{v_x V}{c^2}\right)^2} a_y + \dfrac{v_y}{\left(1-\dfrac{v_x V}{c^2}\right)^3} \dfrac{V}{c^2}a_x\right\}\\ a_z'(t') &= \cdots = \dfrac{1}{\gamma^2}\left\{\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{v_x V}{c^2}\right)^2} a_z + \dfrac{v_z}{\left(1-\dfrac{v_x V}{c^2}\right)^3} \dfrac{V}{c^2}a_x\right\} \end{aligned}$$

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